不等关系与不等式教案（精选10篇）

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不等关系与不等式教案

时间：2024-10-11 22:52:16 王娟教案投诉投稿

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不等关系与不等式教案（精选10篇）

　　作为一名专为他人授业解惑的人民教师，常常要根据教学需要编写教案，借助教案可以更好地组织教学活动。来参考自己需要的教案吧！以下是小编整理的不等关系与不等式教案，欢迎阅读与收藏。

不等关系与不等式教案（精选10篇）

　　不等关系与不等式教案 1

　　（一）教学目标

　　1.知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。

　　2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；

　　3.情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。

　　（二）教学重、难点

　　重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

　　难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。

　　（三）教学设想

　　[创设问题情境]

　　问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d≤。

　　问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少20xx本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？

　　分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为万元。那么不等关系“销售的.总收入不低于20万元”可以表示为不等式≥20

　　问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？

　　分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..

　　根据题意，应有如下的不等关系：

　　（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；

　　（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；

　　（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。

　　由以上不等关系，可得不等式组：

　　[练习]第82页，第1、2题。

　　[知识拓展]

　　设问：等式性质中：等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等。不等式是否也有类似的性质呢？

　　例1讲解（第82页）

　　[练习]第82页，第3题。

　　[思考]：利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：

　　[小结]：1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；

　　2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系；

　　[作业]：习题3.1（第83页）：（A组）4、5；（B组）2.

　　不等关系与不等式教案 2

　　【教学目标】

　　1.通过具体情境让学生感受和体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。

　　2.建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系。

　　3.了解不等式或不等式组的实际背景。

　　4.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题。

　　【重点难点】

　　重点:

　　1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性。

　　2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。

　　3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。

　　难点:

　　1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系。

　　2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题。

　　【方法手段】

　　1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。

　　2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。

　　3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。

　　【教学过程】

　　教学环节

　　教师活动

　　学生活动

　　设计意图

　　导入新课

　　日常生活中，同学们发现了哪些数量关系。你能举出一些例子吗？

　　实例1.某天的天气预报报道，最高气温35℃，最低气温29℃。

　　实例2.若一个数是非负数，则这个数大于或等于零。

　　实例3.两点之间线段最短。

　　实例4.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

　　引导学生想生活中的例子和学过的数学中的例子。在老师的引导下，学生肯定会迫不及待的能说出很多个例子来。即活跃了课堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。

　　推进新课

　　同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系，非常好。而且大家已经考虑到本节课的标题《不等关系与不等式》，所举的实例都是反映不等量的关系。

　　（下面利用电脑投影展示两个实例）

　　实例5：限时40km/h的路标，指示司机在前方路段行使时，应使汽车的速度v不超过40km/h。

　　实例6：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.

　　同学们认真观看显示屏幕上老师所举的例子。

　　让学生们边看边思考：生活中有许多的事情的描述可以采用不等的数量关系来描述

　　过程引导

　　能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但是我们还要能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，那么我们用什么知识来表示这些不等关系呢？

　　什么是不等式呢？

　　用大屏幕展示一组不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.

　　能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于现实生活，这才是学习数学的最终目的。

　　思考并回答老师的问题：可以用不等式或不等式组来表示不等关系。

　　经过老师的启发和点拨，学生可以自己总结出：用不等号将两个解析试连接起来所成的式子叫不等式。

　　目的是让学生回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号≤，≥的含义，是或的关系。回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了。

　　此时学生已经迫不及待地想说出自己的'观点了。

　　合作探究

　　（一）。下面我们把上述实例中的不等量的关系用不等式或不等式组一一的表示出来，那应该怎么表示呢？

　　这两位同学的观点是否正确？

　　老师要表扬学生：“很好！这样思考问题很严密。”应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达。

　　（二）。问题一：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点。

　　请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量的关系。

　　老师提示：借助于图形，这个问题是不是可以解决？

　　（下面让学生板演，结合三角形草图来表达）

　　问题（二）：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少20xx本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

　　是不是还有其他的思路？

　　为什么可以这样设？

　　很好，请继续讲。

　　这位学生回答的很好，表述得很准确。请同学们对两种解法作比较。

　　问题（三）：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等式关系的不等式？

　　假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？

　　右边的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？

　　这位学生回答得很好，思维很严密，那么该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？

　　通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等式组把实际问题中隐藏的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好。请同学们完成书本练习第74页1，2。

　　课堂小结：

　　1.学习数学可以帮助我们解决实际生活中的问题。

　　2.数学和我们的生活联系非常密切。

　　3.本节课巩固了二元一次不等式及二元一次不等式组，并且能用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题。还要注意思维要严密，规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用。

　　布置作业：

　　第75页习题3.1A组4，5。

　　29℃≤t≤35℃

　　x≥0

　　|AC|+|BC|>|AB|

　　|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

　　|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、

　　|AB|-|AC|<|BC|.交被减数与减数的位置也可以。

　　如果用表示速度，则v≤40km/h.

　　f≥2.5%或p≥2.3%

　　学生自己纠正了错误：这种表达是错误的，因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示次实际问题中的不等量关系，即可以表示为也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.

　　过点A作AC⊥平面于点C，则d=|AC|≤|AB|

　　可设杂志的定价为x元，则销售量就减少万本。销售量变为(8-)万本，则总收入为(8-)x万元。即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为(8-)x≥20.

　　解法二：可设杂志的单价提高了0.1n元，（n）

　　我只考虑单价的增量。

　　那么销售量减少了0.2n万本，单价为（2.5+0.1n）元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20.

　　截得两种钢管的总长度不能超过4000mm。

　　截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。

　　截得两种钢管的数量都不能为负数。

　　它们是同时满足条件，应该是且的关系。由实际问题的意义，还应有x,y要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

　　如果学生没有想到的话，老师可以在黑板上板演示意图，启发学生考虑三边的大小关系。

　　此时启发学生“或”字可以吗？学生没有了声音，他们在思考着。到底行不行呢？有的回答“行”，有的回答“不行”。

　　此时学生们在思考，时间长的话，老师要及时点拨。

　　让学生知道，在解决问题时应该贯穿数形结合的思想，以形助数，下面有学生的声音，有学生在讨论，有的学生还有疑问。老师注意关注学生的思维状况，并且及时的加以指导。

　　此时学生已经真正进入本节课的学习状态，老师再给出问题（三）使学生一直处于跟随老师积极思考和解决问题的状态。问题是教学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识。

　　【教学反思】(【设计说明】)

　　本节课内容很多，都是不等式和不等式组的有关问题，还有很多是生活中的实例，学生学习起来很感兴趣，课堂的气氛也很好，大多数学生都能很积极地回答问题，使课堂的学习气氛很浓，确实也做到了愉快教学。设计是按照老师引导式教学，边讲授边引导，启发学习思考问题及能自己解决问题，锻炼学习能自主的学习能力。

　　【交流评析】

　　一是课堂容量适中，二是实例很好，接近生活，学生感兴趣。三是学生回答问题积极踊跃，和老师配合很好。四是多媒体应用的恰到好处，教学设备很完善，老师也能很熟练的应用。

　　不等关系与不等式教案 3

　　一、教学目标

　　1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系；

　　2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容；

　　3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程.

　　二、教学重点：

　　用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.

　　三、教学难点：

　　使用不等式（组）正确表示出不等关系.四、教学过程：

　　（一）导入课题

　　现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.

　　提问：

　　1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于).2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述）引入知识点：

　　1.不等式的定义：用不等号、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式.2.不等式ab的含义.不等式ab应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者a>b，或者a=b”，等价于“a不小于b，即若a>b或a=b之中有一个正确，则ab正确.3.实数比较大小的.依据与方法.

　　（1）如果ab是正数，那么ab；如果ab等于零，那么ab；如果ab是负数，那么ab.反之也成立，就是（ab>0a>b；ab=0a=b；ab

　　（二）基础练习

　　1.用不等式表示下面的不等关系：

　　（1）a与b的和是非负数；

　　（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；解：

　　（1）ab0；

　　（2）h4.2.有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2.试用

　　不等式表示上述关系（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.解：由题意知5010ab60,5010ab60,5011a260

　　ba2,ba2,43a5.11114811a5843.比较（a+3）（a-5）与（a+2）（a-4）的大小.解：（a+3）（a-5）-（a+2）（a-4）=（a22a15）-a22a6=-7

　　（三）提升训练

　　1.比较x23与3x的大小，其中xR.

　　222233333解：x33xx3x3x3x3x

　　24422220，x233x.方法总结：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：

　　第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步：定号.最后得出结论.

　　2.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本2元，钢笔每枝5元.设他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为x，y，则x，2x5y20,y应满足关系式xN,

　　yN.3.一个盒中红、白、黑三种球分别有x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球的，白球与黑球的个数之和至少

　　为55，使用不等式将题中的不等关系表示出来（x,y,zN*）.yxz,解：32

　　yz55.

　　（四）课后巩固

　　p74练习题：1,2.p75习题3.1A组：1,2.4

　　不等关系与不等式教案 4

　　教学分析

　　本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.

　　通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.

　　在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.

　　在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.

　　三维目标

　　1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.

　　2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.

　　3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.

　　重点难点

　　教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.

　　教学难点：准确比较两个代数式的大小.

　　课时安排

　　1课时

　　教学过程

　　导入新课

　　思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.

　　思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　1、回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?

　　2、在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?

　　3、数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的`关系?

　　4、任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?

　　活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a

　　教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.

　　实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.

　　实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA

　　实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.

　　实例4：两点之间线段最短.

　　实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

　　实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.

　　实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.

　　教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.

　　教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5|AC|+|BC|>|AB|，如下图.

　　|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

　　|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.

　　实例6，若用v表示速度，则v≤40km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.

　　对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.

　　讨论结果：

　　(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.

　　(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a

　　应用示例

　　例1(教材本节例1和例2)

　　活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.

　　点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.

　　变式训练

　　1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是()

　　A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)

　　C.f(x)

　　答案：A

　　解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

　　2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.

　　解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

　　∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.

　　例2比较下列各组数的大小(a≠b).

　　(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);

　　(2)a4-b4与4a3(a-b).

　　活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.

　　解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

　　∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.

　　(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

　　=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

　　=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

　　∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，

　　又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.

　　∴a4-b4<4a3(a-b).

　　点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.

　　变式训练

　　已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.

　　活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.

　　解：xy-1=x-yy.

　　∵x>y，∴x-y>0.

　　当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0.∴xy<1;

　　当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.

　　点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.

　　例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.

　　活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.

　　解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a

　　由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，

　　因此a+mb+m>ab≥10%.

　　所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.

　　点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.

　　变式训练

　　已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()

　　A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8

　　C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定

　　答案：A

　　解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

　　=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

　　∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.

　　又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

　　知能训练

　　1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()

　　A.3B.2C.1D.0

　　2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.

　　答案：

　　1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，

　　③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

　　∴只有①恒成立.

　　2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，

　　所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

　　课堂小结

　　1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.

　　2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.

　　作业

　　习题3—1A组3;习题3—1B组2.

　　设计感想

　　1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.

　　2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.

　　3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.

　　备课资料

　　备用习题

　　1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.

　　2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

　　3.已知x>0，求证：1+x2>1+x.

　　4.若x

　　5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.

　　参考答案：

　　1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

　　=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

　　=1>0，

　　∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

　　2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

　　=m2-2m+5+2m-5

　　=m2.

　　∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.

　　∴m2-2m+5≥-2m+5.

　　(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

　　=a2-4a+3+4a-1

　　=a2+2.

　　∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.

　　∴a2-4a+3>-4a+1.

　　3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2

　　=1+x+x24-(x+1)

　　=x24，

　　又∵x>0，∴x24>0.

　　∴(1+x2)2>(1+x)2.

　　由x>0，得1+x2>1+x.

　　4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

　　=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

　　=-2xy(x-y).

　　∵x0，x-y<0.

　　∴-2xy(x-y)>0.

　　∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

　　5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，

　　当a>b>0时，ab>1，a-b>0，

　　则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.

　　当b>a>0时，0

　　则(ab)a-b>1.

　　于是aabb>abba.

　　综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba.

　　不等关系与不等式教案 5

　　教学目标

　　知识与技能：使学生理解并掌握不等式的定义，能识别和表述生活中的不等关系；掌握不等式的性质及解集的概念；能够正确地解一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。

　　过程与方法：通过小组合作、实例分析、练习巩固等方式，培养学生的观察、分析、归纳能力；通过解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

　　情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和创新意识；通过解决实际问题，增强学生对数学实用价值的认识。

　　教学重点与难点

　　教学重点：不等式的概念、性质，一元一次不等式的解法及其解集的表示。

　　教学难点：理解不等式的性质，准确解出一元一次不等式，并正确表示其解集。

　　教学过程

　　1.引入新课（约5分钟）

　　情境导入：通过一个购物情境引入，如：“小明有50元钱，想买一本书和一些零食，书的价格为x元，零食每件3元，问他最多可以买多少件零食？”引导学生认识到，这里涉及的数学关系是不等关系，进而引出不等式的概念。

　　2.新知讲授（约20分钟）

　　不等式的定义：介绍不等号（<,>,≤,≥）的含义，对比等于号，说明不等关系的多样性。

　　性质讲解：逐一介绍不等式的加减乘除性质，通过具体例子帮助学生理解。

　　一元一次不等式的解法：以具体的不等式为例，演示解题步骤，包括移项、合并同类项、系数化为1等。

　　解集与数轴表示：解释解集的`概念，示范如何在数轴上表示不等式的解集。

　　3.实践操作（约15分钟）

　　分组练习：学生分小组，每组分配几个不同的一元一次不等式题目，要求解出不等式并画出解集。

　　案例分析：选取几道生活中的应用题，如饮食热量控制、预算管理等，让学生应用所学知识解决，强化实践应用能力。

　　4.总结反馈（约5分钟）

　　回顾知识点：师生共同总结本节课学习的不等式概念、性质、解法及解集表示方法。

　　疑问解答：鼓励学生提出疑惑，老师或同学帮助解答，确保每位学生都理解掌握。

　　作业布置：设计几道涵盖本节课内容的练习题，包括基础题和拓展题，作为课后作业。

　　教学资源与教具

　　多媒体课件：包含不等式性质的动画演示、解题步骤的详细图解。

　　实物教具：数轴模型，用于直观展示不等式的解集。

　　练习题卡片：分发给各小组进行实践操作的练习题。

　　不等关系与不等式教案 6

　　一、教学目标

　　使学生理解并掌握不等式的概念，了解不等式在现实生活中的应用背景。

　　培养学生利用不等式表示不等关系的能力，以及利用不等式的性质研究不等关系的能力。

　　通过具体情境，使学生能够建立不等式模型，解决实际问题。

　　二、教学重点与难点

　　教学重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

　　教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系，并用不等式（组）正确表示出不等关系。

　　三、教学过程

　　（一）引入新课

　　通过日常生活中的实例，如限速标志、商品打折等，引导学生理解不等关系在现实生活中的普遍存在，并引出不等式的概念。

　　（二）讲授新课

　　不等式的`定义：介绍不等式的概念，包括不等式的符号（<,>,≤,≥）及其含义。

　　不等式的性质：讲解不等式的基本性质，如对称性、传递性、可加性、可乘性等，并通过例题进行巩固。

　　不等式的应用：通过具体情境，如商品打折、工程预算等，引导学生建立不等式模型，解决实际问题。

　　（三）例题讲解

　　例题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d≤AB。请学生根据不等式的性质，解释这个不等式的含义。

　　例题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？请学生尝试列出不等式，并解释其含义。

　　（四）学生练习

　　请学生根据日常生活中的实例，尝试列出不等式。

　　请学生解决以下不等式问题：

　　若30

　　设两根长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆。若要使正方形的面积不大于25cm，那么绳长l应满足怎样的关系式？若要使圆的面积不小于100cm，那么绳长l又应满足怎样的关系式？

　　（五）课堂小结

　　回顾本节课所学的不等式概念、性质及应用。

　　强调不等式在现实生活中的应用价值，鼓励学生多观察、多思考，将数学知识与实际生活相结合。

　　（六）作业布置

　　请学生完成课本上的相关练习题。

　　请学生观察日常生活中的不等关系，并尝试用不等式进行表示。

　　不等关系与不等式教案 7

　　一、教学目标

　　1、知识与技能目标

　　理解不等关系与不等式的概念。

　　掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决简单的不等式问题。

　　2、过程与方法目标

　　通过实际问题的分析，引导学生建立不等关系，体会数学在实际生活中的应用。

　　经历不等式性质的探究过程，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。

　　3、情感态度与价值观目标

　　培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣。

　　让学生在解决问题的过程中，体会数学的严谨性和科学性。

　　二、教学重难点

　　1、教学重点

　　不等关系的建立。

　　不等式的基本性质。

　　2、教学难点

　　运用不等式的基本性质解决实际问题。

　　三、教学方法

　　讲授法、讨论法、探究法。

　　四、教学过程

　　1、导入新课

　　通过展示一些生活中常见的不等关系的例子，如身高的比较、速度的快慢、价格的高低等，引出不等关系的概念。

　　提问学生：在生活中还能举出哪些不等关系的例子？

　　2、讲解新课

　　性质1：对称性，若a>b，则b

　　性质2：传递性，若a>b，b>c，则a>c。

　　性质3：加法性质，若a>b，则a+c>b+c。

　　性质4：乘法性质，若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac

　　通过具体的例子引导学生理解和掌握这些性质。

　　给出不等式的定义：用不等号连接两个数或代数式的式子叫做不等式。

　　举例说明不等式的形式，如2x+1>5，x-3≤0等。

　　用数学符号表示不等关系，如“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）、“≤”（小于等于）。

　　举例说明如何用这些符号表示不等关系，如a>b表示a大于b。

　　不等关系的表示

　　不等式的概念

　　不等式的基本性质

　　3、巩固练习

　　给出一些简单的不等式问题，让学生运用不等式的基本性质进行求解。

　　如：已知a>b，c>d，求a+c与b+d的大小关系。

　　4、课堂小结

　　总结不等关系与不等式的概念。

　　强调不等式的.基本性质及其在解决问题中的重要性。

　　5、布置作业

　　布置一些课后练习题，巩固所学知识。

　　让学生在生活中寻找不等关系的例子，并尝试用不等式表示出来。

　　五、教学反思

　　通过本节课的教学，学生对不等关系与不等式有了初步的认识和理解，掌握了不等式的基本性质。在教学过程中，要注重引导学生从实际生活中发现不等关系，提高学生的数学应用意识。同时，要通过多种方式让学生理解和掌握不等式的基本性质，如举例、推理等，以提高学生的逻辑思维能力。

　　不等关系与不等式教案 8

　　教学目标

　　知识与技能：使学生理解并掌握不等式的定义、表示方法，以及基本性质；能够正确地解一元一次不等式和简单的一元二次不等式。

　　过程与方法：通过实例引入，让学生经历从具体到抽象的认识过程，培养学生的观察、分析和归纳能力；通过小组合作学习，增强解决问题的能力。

　　情感态度价值观：激发学生学习数学的`兴趣，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，体验数学在生活中的应用价值。

　　教学重点与难点

　　教学重点：不等式的性质，一元一次不等式及一元二次不等式的解法。

　　教学难点：不等式解集的理解与表示，特别是含有绝对值的不等式的解法。

　　教学过程

　　1.导入新课（约5分钟）

　　生活实例导入：以学校图书馆借书为例，假设每个学生最多可以借5本书，最少需要借1本书，引导学生思考并表达这种数量上的限制关系，从而自然引出不等式的概念。

　　2.新课讲授（约25分钟）

　　定义与表示：介绍不等式的定义，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）四种关系。展示不等式在数轴上的表示方法。

　　基本性质：讲解不等式的基本性质，如加减乘除规则、传递性、对称性等，并通过例题加以说明和练习。

　　解一元一次不等式：详细讲解解一元一次不等式的步骤，特别强调移项时符号的变化，通过具体例题演示解题过程。

　　一元二次不等式：简要介绍一元二次不等式的概念，重点讲解配方法解不等式的基本思路，以及如何根据判别式判断解集情况。

　　3.实践操作（约15分钟）

　　分组练习：学生分组，每组分配不同难度的不等式题目，包括一元一次不等式、含有绝对值的不等式及简单的一元二次不等式。小组内讨论解题方法，教师巡回指导。

　　展示与评价：每组选择一题进行解答展示，其他小组评价并提出疑问或补充，教师总结点评，强调解题技巧和常见错误。

　　4.总结反馈（约5分钟）

　　回顾知识点：引导学生总结本节课学习的不等式基本概念、性质及解法。

　　作业布置：设计几道不同类型不等式题目作为课后作业，要求学生独立完成，巩固所学知识。

　　5.拓展延伸（可选）

　　实际应用：讨论不等式在日常生活中的应用实例，如购物预算控制、时间管理等，鼓励学生寻找并分享更多应用案例。

　　教学资源

　　多媒体课件：包含生活实例图片、不等式性质动画演示、解题步骤示例等。

　　练习册：配套练习题，涵盖不同难度层次，适合分层次教学。

　　不等关系与不等式教案 9

　　一、教学目标

　　1、知识与技能目标

　　了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。

　　理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质。

　　2、过程与方法目标

　　通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，体会不等式（组）是刻画不等关系的数学模型。

　　经历由实际问题建立数学模型的过程，提高学生的数学建模能力和分析问题、解决问题的能力。

　　3、情感态度与价值观目标

　　通过对不等关系与不等式的学习，培养学生的数学思维和逻辑推理能力，激发学生学习数学的兴趣。

　　体会数学在实际生活中的应用价值，培养学生的应用意识和创新精神。

　　二、教学重难点

　　1、教学重点

　　理解不等式的基本性质。

　　用不等式（组）表示实际问题中的不等关系。

　　2、教学难点

　　不等式基本性质的推导和应用。

　　正确理解实际问题中的不等关系并建立不等式模型。

　　三、教学方法

　　讲授法、讨论法、探究法、练习法。

　　四、教学过程

　　1、导入新课

　　展示一些生活中存在不等关系的图片，如高矮不同的人、大小不同的苹果等，引导学生观察并思考生活中的不等关系。

　　提问学生：“在我们的生活中，还有哪些地方存在不等关系呢？”让学生举例说明，从而引出本节课的主题——不等关系与不等式。

　　2、新课讲授

　　给出一些不等式，让学生利用不等式的性质进行变形和证明。

　　例如，已知a>b，c>d，求证a+c>b+d。引导学生利用加法性质进行证明。

　　性质1：对称性

　　性质2：传递性

　　性质3：加法性质

　　性质4：乘法性质

　　如果a>b，那么bb。

　　通过具体的数字例子，如5>3，那么3<5，让学生理解对称性的含义。

　　如果a>b，b>c，那么a>c。

　　举例说明，如5>3，3>2，那么5>2，让学生体会传递性的作用。

　　如果a>b，那么a+c>b+c。

　　引导学生通过实际计算来验证加法性质，如5>3，那么5+2>3+2。

　　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac

　　分别用正数和负数的例子来讲解乘法性质，如5>3，当c=2时，5×2>3×2；当c=-2时，5×(-2)<3×(-2)。

　　给出一些具体的情境，如某商品的价格不超过100元、三角形的两边之和大于第三边等，让学生用不等式表示这些不等关系。

　　引导学生总结用不等式表示不等关系的方法和步骤，即先确定两个量，再分析它们之间的大小关系，最后用适当的不等式符号表示出来。

　　通过实例，如小明的身高比小红高、汽车的速度比自行车快等，让学生理解不等关系的含义。

　　强调不等关系是客观存在的，是描述两个量之间大小关系的一种数学关系。

　　不等关系的概念

　　用不等式表示不等关系

　　不等式的基本性质

　　不等式性质的'应用

　　3、课堂练习

　　用不等式表示“x的3倍与5的差大于10”。

　　已知a>b，c<0，求证ac

　　布置一些练习题，让学生用不等式表示实际问题中的不等关系，以及利用不等式的性质进行变形和证明。

　　例如：

　　巡视学生的练习情况，及时给予指导和反馈。

　　4、课堂小结

　　总结本节课的主要内容，包括不等关系的概念、用不等式表示不等关系的方法、不等式的基本性质以及它们的应用。

　　强调不等式在数学和实际生活中的重要性，鼓励学生在今后的学习和生活中善于发现和运用不等关系。

　　5、布置作业

　　布置课后作业，包括书面作业和拓展作业。

　　书面作业：教材上的相关习题。

　　拓展作业：让学生寻找生活中的不等关系，并尝试用不等式表示出来，然后与同学交流分享。

　　五、教学反思

　　通过本节课的教学，学生对不等关系与不等式有了初步的认识和理解。在教学过程中，要注重引导学生从实际生活中发现不等关系，提高学生的应用意识和建模能力。同时，要加强对不等式基本性质的讲解和练习，让学生熟练掌握并能灵活运用。在今后的教学中，还可以进一步拓展不等式的应用领域，让学生更好地体会数学的实用性。