函数的最值教案设计

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函数的最值教案设计

时间：2022-10-19 13:16:26 毅霖教案投诉投稿

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函数的最值教案设计

　　作为一名优秀的教育工作者，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。教案应该怎么写才好呢？下面是小编整理的函数的最值教案设计，仅供参考，大家一起来看看吧。

函数的最值教案设计

　　函数的最值教案设计篇1

　　目的：

　　（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；

　　（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

　　重点：

　　函数的最大（小）值及其几何意义。

　　教学难点：

　　利用函数的单调性求函数的最大（小）值。

　　教学过程：

　　一、引入课题

　　画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

　　○1说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

　　○2指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

　　二、新课教学

　　（一）函数最大（小）值定义

　　1、最大值

　　一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

　　（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

　　（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M

　　那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）。

　　思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义。（学生活动）

　　注意：

　　○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；

　　○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。

　　2、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

　　○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

　　○2利用图象求函数的最大（小）值

　　○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

　　（二）典型例题

　　例1、（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的'最大（小）值。

　　解：（略）

　　说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值。

　　巩固练习如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

　　例2、（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

　　房价（元）住房率（%）

　　16055

　　14065

　　12075

　　10085

　　欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

　　解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系。

　　设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得15。

　　由于≤1，可知0≤≤90。

　　因此问题转化为：当0≤≤90时，求的最大值的问题。

　　将的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50＋17600。

　　由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）。

　　所以该客房定价应为135元。（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）

　　例3、（教材P37例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值。

　　解：（略）

　　注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式。

　　巩固练习（教材P38练习4）

　　三、归纳小结，强化思想

　　函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明、画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

　　取值→作差→变形→定号→下结论

　　四、作业布置

　　1、书面作业：课本P45习题1、3（A组）第6、7、8题。

　　提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45km/h和15km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？

　　指数概念的扩充。

　　3.2.1指数概念的扩充。

　　【自学目标】

　　1、掌握正整数指数幂的概念和性质。

　　2、理解n次方根和n次根式的概念，能正确地运用根式表示一个正实数的算术根。

　　3、能熟练运用n次根式的概念和性质进行根式的化简与运算。

　　【知识要点】

　　1、方根的概念

　　若，则称x是a的平方根；若，则称x是a的立方根。

　　一般地，若一个实数x满足，则称x为a的n次实数方根。

　　当n是奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数n次实数方根是一个负数，这时a的n的次实数方根只有一个，记作；

　　当n是偶数时，正数的n次实数方根有二个，它们是相反数。这时a的正的n次实数方根用符号。

　　注意：0的n次实数方根等于0。

　　2、根式的概念

　　式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。

　　求a的n次实数方根的运算叫做开方运算。

　　3、方根的性质

　　当n是奇数时，当n是偶数时。

　　【预习自测】

　　例1、试根据n次方根的定义分别写出下列各数的n次方根。

　　⑴25的平方根；

　　⑵27的三次方根；

　　⑶－32的五次方根；

　　⑷的三次方根。

　　例2、求下列各式的值：

　　例3、化简下列各式：

　　例4、化简下列各式：

　　【归纳反思】

　　1、在化简时，不仅要注意n是奇数还是偶数，还要注意a的正负；

　　2、配方和分母有理化是解决根式的求值和化简等问题常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想。

　　函数的最值教案设计篇2

　　一、教学目标

　　1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。

　　2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。

　　二、能力目标

　　1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。

　　2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。

　　三、情感目标

　　1、通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。

　　2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。

　　四、教学重难点

　　1、一次函数、正比例函数的概念及关系。

　　2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。

　　五、教学过程

　　1、新课导入

　　有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的'增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看：某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。

　　（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，

　　（2）你能写出x与y之间的.关系式吗？

　　分析：当不挂物体时，弹簧长度为3厘米，当挂1千克物体时，增加0.5厘米，总长度为3.5厘米，当增加1千克物体，即所挂物体为2千克时，弹簧又增加0.5厘米，总共增加1厘米，由此可见，所挂物体每增加1千克，弹簧就伸长0.5厘米，所挂物体为x千克，弹簧就伸长0.5x厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y=3+0.5x。

　　2、做一做

　　某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千克耗油9升。你能写出x与y之间的关系吗？（y=1000。18x或y=100x）

　　接着看下面这些函数，你能说出这些函数有什么共同的特点吗？上面的几个函数关系式，都是左边是因变量，右边是含自变量的代数式，并且自变量和因变量的指数都是一次。

　　3、一次函数，正比例函数的概念

　　若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

　　4、例题讲解

　　例1：下列函数中，y是x的一次函数的是（）

　　①y=x6；②y=；③y=；④y=7x

　　A、①②③B、①③④C、①②③④D、②③④

　　分析：这道题考查的是一次函数的概念，特别要强调一次函数自变量与因变量的指数都是1，因而②不是一次函数，答案为B

　　函数的最值教案设计篇3

　　教学目标

　　熟练地掌握二次函数的最值及其求法。

　　重点

　　二次函数的的最值及其求法。

　　难点

　　二次函数的最值及其求法。

　　一、引入

　　二次函数的最值：

　　二、例题分析：

　　例1：求二次函数的最大值以及取得最大值时的值。

　　变题1：⑴、⑵、⑶、

　　变题2：求函数（）的最大值。

　　变题3：求函数（）的最大值。

　　例2：已知（）的最大值为3，最小值为2，求的取值范围。

　　例3：若，是二次方程的两个实数根，求的最小值。

　　三、随堂练习：

　　1、若函数在上有最小值，最大值2，若，则=________，=________。

　　2、已知,是关于的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（）

　　A、0B、1C、－1D、2

　　3、求函数在区间上的最大值。

　　四、回顾小结

　　本节课了以下内容：

　　1、二次函数的`的最值及其求法。

　　课后作业

　　班级：（）班姓名__________

　　一、基础题：

　　1、函数（）

　　A、有最大值6B、有最小值6C、有最大值10D、有最大值2

　　2、函数的最大值是4，且当=2时，=5，则=______，=_______。

　　二、提高题：

　　3、试求关于的函数在上的最大值,高三。

　　4、已知函数当时，取最大值为2，求实数的值。

　　5、已知是方程的两实根，求的最大值和最小值。

　　三、题：

　　6、已知函数，，其中，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量的值。

　　函数的最值教案设计篇4

　　教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。本课的教学重点是掌握常见幂函数的概念和性质，难点是根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。

　　组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数，只需重点掌握这五个函数的图象和性质。学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。

　　学生已经有了学习幂函数和对象函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。

　　教学目标：

　　㈠知识和技能

　　1、了解幂函数的概念，会画幂函数，的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。

　　2、了解几个常见的幂函数的性质。

　　㈡过程与方法

　　1、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

　　2、使学生进一步体会数形结合的思想。

　　㈢情感、态度与价值观

　　1、通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

　　2、利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。教学重点常见幂函数的概念和性质教学难点幂函数的单调性与幂指数的关系。

　　教学过程

　　一、创设情景，引入新课

　　问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？（总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数）

　　问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a的函数。

　　问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积，这里V是a的函数。

　　问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长xx，这里a是S的函数。

　　问题5：如果某人xxs内骑车行进了xxkm，那么他骑车的速度，这里v是t的函数。

　　以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？（右边指数式，且底数都是变量）这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题）

　　二、新课讲解

　　（一）幂函数的概念如果设变量为，函数值为xx，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给出幂函数的一般式吗？这就是幂函数的一般式，你能根据指数函数、对数函数的定义，给出幂函数的定义吗？xx幂函数的定义：一般地，我们把形如xx的函数称为幂函数（powerfunction），其中xx是自变量，xx是常数。

　　【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念）

　　结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数

　　试一试：判断下列函数那些是幂函数（1）（2）（3）（4）我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的`学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？（研究图象和性质）

　　（二）几个常见幂函数的图象和性质在初中我们已经学习了幂函数x的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数x的图象吗？

　　【探究二】观察函数x的图象，将你发现的结论写在下表内。定义域，值域，奇偶性，单调性，定点，图象范围。

　　【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：x的共同性质。

　　（1）函数x的图象都过点

　　（2）函数x在x上单调递增；

　　归纳：幂函数x图象的基本特征是，当x是，图象过点x，且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间x上是单调增函数。（演示几何画板制作课件：幂函数。asp）

　　请同学们模仿我们探究幂函数x图象的基本特征x的情况探讨x时幂函数x图象的基本特征。（利用drawtools软件作图研究）

　　归纳：xx时幂函数x图象的基本特征：过点x，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间x上是单调减函数，且向右无限接近X轴，向上无限接近Y轴。

　　（三）例题剖析

　　【例1】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。（1）（2）（3）

　　分析：根据你的学习经历，你觉得求一个函数的定义域应该从哪些方面来考虑？

　　方法引导：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域。

　　（1）若函数解析式中含有分母，分母不能为0；

　　（2）若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；

　　（3）0的0次幂没有意义；

　　（4）若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0；求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组。

　　结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域。归纳分析如果判断幂函数的单调性（第一象限利用性质，其余象限利用函数奇偶性与单调性的关系）

　　【例2】比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）

　　（1）________

　　（2）________

　　（3）__________

　　（4）____________

　　分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小

　　三、课堂小结

　　1、幂函数的概念及其指数函数表达式的区别

　　2、常见幂函数的图象和幂函数的性质。

　　四、布置作业

　　㈠课本第73页习题2.4

　　第1、2、3题