一元二次方程的解法教案

一元二次方程的解法教案

　　在教学工作者实际的教学活动中，总不可避免地需要编写教案，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。那么写教案需要注意哪些问题呢？下面是小编收集整理的一元二次方程的解法教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

一元二次方程的解法教案1

　　知识目标

　　了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。

　　能力目标

　　通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。

　　情感目标

　　通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。

　　教学重点

　　二元一次方程组的含义

　　教学难点

　　判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识。

　　教学过程

　　一、引入、实物投影

　　1、师：在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：累死我了，小马说：你还累，这么大的个，才比我多驮2个老牛气不过地说：哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！，小马天真而不信地说：真的？！同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？

　　2、请每个学习小组讨论(讨论2分钟，然后发言)

　　这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得方程：x+1=2(y-1)

　　师：同学们能用方程的方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未知数？含未知数的。项的次数是多少？(含有两个未知数，并且所含未知数项的`次数是1)

　　师：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程

　　注意：这个定义有两个地方要注意①、含有两个未知数，②、含的次数是一次

　　练习

　　下列方程有哪些是+2y=1xy+x=13x-=5x2-2=3x

　　xy=12x(y+1)=c2x-y=1x+y=0

　　二、议一议、

　　师：上面的方程中x-y=2的x含义相同吗？

一元二次方程的解法教案2

　　教学内容

　　间接即通过变形运用开平方法降次解方程．

　　教学目标

　　理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．

　　通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．

　　重难点关键

　　1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．

　　2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

　　教学过程

　　一、复习引入

　　（学生活动）请同学们解下列方程

　　（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9

　　老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=± 或mx+n=± （p≥0）．

　　如：4x2+16x+16=（2x+4）2

　　二、探索新知

　　列出下面二个问题的方程并回答：

　　（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？

　　（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？

　　问题1：印度古算中有这样一资骸耙蝗汉镒臃至蕉樱吒咝诵嗽谟蜗罚?八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．

　　大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：x=（ x）2+12

　　整理得：x2-64x+768=0

　　问题2：设道路的.宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500

　　整理，得：x2-36x+70=0

　　（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．

　　（2）不能．

　　既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：

　　x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768

　　两边加（ ）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024

一元二次方程的解法教案3

　　复习目标：

　　1、能说出一元二次方程及其相关概念。

　　2、能熟练应用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。

　　复习重难点：一元二次方程的解法

　　教学过程

　　一、情景导入

　　前面我们复习了一元一次方程与二元一次方程组的解法，大家掌握得很不错，请同学解方程x(x-1)=1,（学生略作思考后，示意不会做）忘了吧？看来好多学生都已经忘了如何解一元二次方程呢？那么这节课我们就一起来复习一元二次方程的解法（板书课题）

　　二、复习指导（学生按照复习提纲解决问题，师做简单的板书准备后，巡视指导，特别要注意帮助有困难的同学，了解学生的`情况，为展示归纳做准备。）

　　复习提纲

　　1．－元二次方程的定义：只含有_______叫做一元二次方程。

　　2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______项，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______项。

　　3．一元二次方程的解法：

　　(1)用直接开平方法解方程（2x+1）2=9

　　形如x2＝p(p≥0)的方程的根为________。

　　(2)用配方法解方程x2+2x=3

　　用配方法解方程步骤： ， ， ， 。

　　(3)用求根公式法解方程x2-3x-5＝0 ，x2-3x+5＝0。

　　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式△＝________，根x= 。

　　(1)当△>0时，方程有两个_______的实数根。

　　(2)当△＝0时，方程有两个_______的实数根。

　　(3)当△<0时，_______。

　　三、展示归纳

　　1、教师抽有困难的学生逐题汇报复习结果，学生说教师板书。

　　2、教师发动全班学生进行评价，补充，完善。

　　3、教师画龙点睛的强调。

　　四、变式练习（1、2、4题让学生说出理由，3题让学生观察方程的特点可发现：(1)可用直接开平方法；(2)用配方法或公式法；(3)可用公式法；(4)方程都有共同的因式(x－3)，故可用因式分解法。）

　　1、判断下列哪些方程是一元二次方程？

　　（1）4x2－16x+15=0 （2） 2x2－3＝0 （3）ax2＋bx＋c＝0

　　2、请将方程(x＋1)(2－x)=1化为一般形式_______。

　　3、解下列方程：

　　(1) (x－3)2－9＝0； (2) x2－2x＝5；

　　(3) x2－4x＋2＝0； (4) 2（x－3）＝3x（x－3)。

　　4、不解方程，判断下列方程根的情况。

　　（1）2x2－5x－3＝0 （2）x2+6x+9＝0 （3）x2－4x+5＝0

　　五、课堂总结

　　请谈谈本节课的收获与困惑。（学生自主小结归纳，将本章知识内化为自己的东西，并提高归纳小结的能力。）

　　六、布置作业

一元二次方程的解法教案4

　　1、教材分析

　　（1）知识结构

　　（2）重点、难点分析

　　重点：①确定圆的定理.它是圆中的基础知识，是确定圆的理论依据；②不在同一直线上的三点作圆.“作圆”不仅体现在证明“确定圆的定理”的重要作用，也是解决实际问题中常用的方法；③反证法证明命题的一般步骤.反证法虽是选学内容，但它是证明数学命题的重要的基本方法之一.

　　难点：反证法不是直接以题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题正确，又因为矛盾的多样化，学生刚刚接触，所以反证法不仅是本节的难点，也是本章的难点.

　　2、教学建议

　　本节内容需要两个课时.在第一课时过三点的圆的教学中：

　　（1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体和发现问题、解决问题的能力上.让学生作图、观察、分析、概括出定理.

　　（2）组织学生开展“找直角、锐角和钝角三角形的外心”的位置活动，在激发学生的学习兴趣中，提高作图能力.

　　（3）在教学中，解决过已知点作圆的问题，应紧紧抓住对圆心和半径的探讨，已知圆心和半径就可以作一个圆，这是从圆的定义引出的基本思路，因此作圆的问题就是如何根据已知条件去找圆心和半径的问题．由于作圆要经过已知点，如果圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定，因此作圆的问题又变成了找圆心的问题，是否可以作圆以及能作多少个圆，都取决于能否确定圆心的位置和圆心的个数.

　　在第二课时反证法的教学中：

　　（1）对于A层的学生尽量使学生理解并会简单应用，对B层的学生使学生了解即可.

　　（2）在教学中老师要精讲：①为什么要用反证法；②反证法的'基本步骤；③精讲精练.

　　第一课时

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．本节课使学生了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。

　　2．了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。

　　（二）能力训练点

　　1．培养学生观察、分析、概括的能力；

　　2．培养学生准确简述自己观点的能力；

　　3．培养学生动手作图的准确操作的能力。

　　（三）德育渗透点

　　通过引言的教学，激发学生的学习兴趣，培养学生的知识来源于实践又反过来作用于实践的辩证只许物主义观念。

　　（四）美育渗透点

　　通过对圆的进一步学习，使学生既能体会圆的完美性（与其他图形的结合等），又培养美育素质，提高对数学中美的欣赏。

　　二、教学步骤

　　（一）教学过程

　　学生在教师的引导下，亲自动手试验发现经过三点的圆，这三点的位置要进行讨论．有两种情况：①在一条直线上三点；②不在一条直线上三点，通过学生小组的讨论认为不在同一条直线上三点能确定一个圆．怎样才能做出这个圆呢？这时教师出示幻灯片．

　　例1?作圆，使它经过不在同一直线上三点．

　　由学生分析首先得出这个命题的题设和结论．

　　已知：，求作：⊙ O ，使它经过 A 、B 、C 三点．

　　接着教师进一步引导学生分析要作一个圆的关键是要干什么？由于一开课在设计学校的位置时，学生已经有了印象，学生会很快回答是确定圆心，确定圆心的方法：作的三边垂直平分线，三边垂直平分线的交点 O 就是圆心．圆心 O 确定了，那么要经过三点 A 、 B 、C 的圆的半径可以选 OA 或 OB 都可以．作图过程教师示范，学生和老师一起完成．一边作图，一边指导学生规范化的作图方法及语言的表达要准确．

　　定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．

　　注意：经过在同一条直线上三点不能确定一个圆．

　　这样做的目的，不是教师“填鸭式”地往里灌，而是学生自己经过探索确定圆的条件，这样得到的结论印象深刻，效果要比全部由老师讲更好．

　　接着，由于学生完成了作圆的过程，引导学生观察这个圆与的顶点的关系，得出：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

　　强调“接”指三角形的顶点在圆上，“内接”、“外接”指在一个图形的“里面”和“外面”．理解这些术语的意义，指出语言表达的规范化．为了更好地掌握新概念，出示练习题（投影）．

　　练习1：按图填空：

　　（1）是⊙ O 的_________三角形；

　　（2）⊙ O 是的_________圆，

　　这组题的目的就是理解“内接”，“外接”的含意．

　　练习2：判断题：

　　（1）经过三点一定可以作圆；（??）

　　（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（??）

　　（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（??）

　　（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（??）

　　（5）三角形的外心到三角形各项点的距离相等．（??）

　　这组练习题主要巩固对本节课的定理和有关概念的理解，加深学生对概念辨析的准确性．

　　练习3：

　　经过4个（或4个以上的）点是不是一定能作圆？

　　练习4：

　　选择题：钝角三角形的外心在三角形（??）

　　（A）内部（B）一边上（C）外部（D）可能在内部也可能在外部

　　练习3．4两道小题，引导学生动手画一画，和对定理的理解是否深刻，训练学生思维的广阔性和准确性有关．

　　练习5：教材P．59中4题（略）．

　　习题作业的参考方案

　　练习1：内接、外接．

　　练习2：（1）×（2）√（3）×（4）×（5）√

　　练习3：不一定．因为要想作经过4个点的圆，应先作经过其中不在同一条直线上三点的圆，而第四个点到该圆圆心的距离不一定等于半径．所以经过4个点不一定能作圆．

　　练习4．C

　　练习5．略．

　　（二）总结、扩展

　　师生共同完成总结．

　　知识点方面：

　　2．（l）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．

　　3．

　　方法方面：

　　1．用尺规作三角形的外接圆的方法。

　　2．重点词语的区别：“内接”“外接”。

　　三、布置作业

　　1．教材P68中7、8、9。

　　2．补充作业：已知一个破损的轮胎，要求在原轮胎的基础上补一个完整的轮胎。

　　四、 板书设计

一元二次方程的解法教案5

　　【知识与技能】

　　1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.

　　2.会熟练应用公式法解一元二次方程.

　　【过程与方法】

　　通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.

　　【情感态度】

　　经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.

　　【教学重点】

　　求根公式的推导和公式法的应用.

　　【教学难点】

　　一元二次方程求根公式的推导.

　　一、情境导入，初步认识

　　用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0

　　解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）无解

　　二、思考探究，获取新知

　　如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的`步骤求出它们的两根？

　　问题 已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根

　　【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.

　　探究 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a,b,c而定，因此:

　　（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a,b,c代入式子 就得到方程的根，当b2-4ac＜0时,方程没有实数根.

　　（2） 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.

　　（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

　　【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.

　　例1 用公式法解下列方程：

　　①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2

　　③（x-2）（3x-5）=0 ④4x2-3x+1=0

　　解：①x1=1+ ,x2=1-

　　②x1=2,x2=-

　　③x1=2,x2=

　　④无解

　　【教学说明】（1）对②、③要先化成一般形式；（2）强调确定a,b,c的值，注意它们的符号；（3）先计算b2-4ac的值，再代入公式.

　　三、运用新知，深化理解

　　1.用公式法解下列方程：

　　（1）x2+x-12=0

　　（2）x2- x- =0

　　（3）x2+4x+8=2x+11

　　（4）x（x-4）=2-8x

　　（5）x2+2x=0

　　（6）x2+2 x+10=0

　　解：（1）x1=3,x2=-4;

　　（2）x1= ,x2= ；

　　（3）x1=1,x2=-3;

　　（4）x1=-2+ ，x2=-2- ；

　　（5）x1=0,x2=-2;

　　（6）无解.

　　【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.

　　四、师生互动，课堂小结

　　1.求根公式的概念及其推导过程.

　　2.公式法的概念.

　　3.应用公式法解一元二次方程.

　　1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

　　2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

　　在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察，交流与表述，体验知识的获取的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率.