高中数学教案
作为一无名无私奉献的教育工作者，就有可能用到教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。写教案需要注意哪些格式呢？以下是小编整理的高中数学教案，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
高中数学教案1
一、活动主题的提出
根据新课改课程标准及高中数学教学要求，为切实实施素质教育，改革教学方式与方法，变教教材为用教材，有机地开展校本课程，培养学生的综合实践能力和创新能力，培养学生的探索精神和用数学的意识，以教材中的阅读与思考为素教材，推进高中数学研究性学习的进程，对该问题进行研究，旨在为深化课堂教学内容，促进性自主研究和学习，从而探讨高中数学研究性学习的实施办法。
二、活动的具体目标
1、知识目标：通过集合中元素的个数问题的研究，探求有限集合中元素个数间的关系，比较几个集合中元素个数的多少的方法。
2、能力目标：能多方面、多角度、多层面来探究问题，运用知识来解决问题，培养学生的发散思维和创新思维能力。
3、情感目标：学该课题的研究，激发学生的学习热情和学习兴趣，享受探索成功的乐趣，培养科学态度与科学精神。
三、活动的实施过程、方式
1、出示活动内容与思考的问题（5分钟）
（1）、学校小卖部进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？回答两次一共进了10（6+4）种，对吗？应如何解答？有哪些方法？因此可以得出什么结论（集合中元素个数间的关系）？
（2）、学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？应如何解答？由此解出以下结论（集合中元素个数间的关系）？又如：某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人是多少？应如何解答？
（3）涉及三个及三个以上，集合的并、交问题，能用类似的结论吗？应怎样表达？如：学校开运动会，设。若参加一百米的同学有5人，参加二百米跑的同学有6人，参加四百米跑的同学有7人，参加一百、二百同学有2人，参加一百、四百的同学有3人，参加二百、四百的同学有5人，三项都参加的人有1人，求有多少人参赛？
（4）设计比较集合与集合B=中元素的个数的多少的方法。
2、活动分工及时间安排（25分钟）
全班以大组为单位（共四个大组）来研究以上4个问题。第一大组研究（1）问题，第二大组研究（2）个问题，第三大组研究（3）个问题，第四大组研究（4）个问题。要求每组由学生自行确定一位负责人，并由此同学组织具体活动，明确该同学是下步活动交流中心发言人。有余力的组可协助思考其它组的问题。教师下到各组视察，了解情况，并作必要的指导。
3、活动交流（15分钟）
请每一小组中心发言人回答各自分配的问题，全班其它同学补充，教师引导学生概括，得出结论：
列举法
问题（1）涉及的集合元素个数较少而且具体，可用列举法写出，很快可解决此问题，并由特殊到一般的思维方式概括得出：
图解法
当集合元素个数较少而不具体时，据题意画出集合的韦恩图，从而解决实际问题如问题（2），并归纳得出：这一结论。
数形结合法
利用集合间的关系，结合示意图，据未知可设适当的未知数，建立方程求解，如问题（2）中的第二个问题。设喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为x，则两项都喜爱的有（15-x）人，喜爱乒乓球而不喜爱篮球的有[10-（15-x）]人，据题意有：x+（15-x）+[10-（15-x）]+8=30，解得x=12。故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的有12人。
归纳、猜想法
通过对问题（3）的求解，并结合问题（1）、（2）的求解，归纳、猜想出：。
概念派生法
通过问题（4）的研究求解，大部分学生较易得出A，因此，由真子集的概念得出集合B的元素的个数少于集合A的元素的个数。这个结论是由概念的.内涵派生出来的。
“对应”法
经研究讨论，同学中有“集合A的元素个数等于集合B的元素个数”的结论。少数同学运用“对应”思想：，显然有此结论。这是一个多好的想法啊！
四、活动评价
充分运用高中数学子教材资源“阅读与思考”，广泛开展第二课堂活动，能很好地调动学生的学习兴趣，能很好地开发学生的创造潜能，有助于学生探究能力和创新能力的提高。通过本课题的研究，至少有以下成功之处：第一、深化了课堂知识，进一步巩固和拓展了所学知识；第二、培养了学生探究能力，很好地改变了学生的学习方式、方法；第三、增强了学生运用知识解决问题的意识：该课题以解决问题为背景，通过分工与合作和恰当地引导，学生用知识的意识明显增强，运用知识解决问题的能力明显提高；第四、培养了学生的思维品质。通过问题（4）的研究，我们得出了不一样的结论，但都有道理，学生向引发争议，学生的批判性思维得到较好的发展。
五、注意事项
1、教师课题准备要充分。要认真钻研材料；查阅相关资料或研究成果；作好周密的活动计划。切忌无准备或准备不充分就上课。
2、避免“活动研究课”上课学科化，要充分地让学生自主的活动，不人为地牵制学生。
3、积极引导学生搞好“交流——合作”环节的活动，充分听取学生的意见，让学生自己总结作法和研究成果，切忌教师包办，强加于人。
4、坚持引导学生写好活动总结和体会，归纳研究方法与成果，忌只管上课不管下课，课后不巩固。
高中数学教案2
教学目的：掌握圆的标准方程，并能解决与之有关的问题
教学重点：圆的标准方程及有关运用
教学难点：标准方程的灵活运用
教学过程：
一、导入新课，探究标准方程
二、掌握知识，巩固练习
练习：⒈说出下列圆的方程
⑴圆心（3，-2）半径为5⑵圆心（0，3）半径为3
⒉指出下列圆的圆心和半径
⑴（x-2）2+(y+3)2=3
⑵x2+y2=2
⑶x2+y2-6x+4y+12=0
⒊判断3x-4y-10=0和x2+y2=4的'位置关系
⒋圆心为（1，3），并与3x-4y-7=0相切，求这个圆的方程
三、引伸提高，讲解例题
例1、圆心在y=-2x上，过p(2，-1)且与x-y=1相切求圆的方程（突出待定系数的数学方法）
练习：1、某圆过(-2，1)、(2，3)，圆心在x轴上，求其方程。
2、某圆过A(-10，0)、B(10，0)、C(0，4)，求圆的方程。
例2：某圆拱桥的跨度为20米，拱高为4米，在建造时每隔4米加一个支柱支撑，求A2P2的长度。
例3、点M(x0，y0)在x2+y2=r2上，求过M的圆的切线方程(一题多解，训练思维)
四、小结练习P771，2，3，4
五、作业P811，2，3，4
高中数学教案3
教学目标：
（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题。
（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线。
（3）初步掌握求曲线方程的方法。
（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力。
教学重点、难点：
求曲线的方程。
教学用具：
计算机。
教学方法：
启发引导法，讨论法。
教学过程：
【引入】
1、提问：什么是曲线的方程和方程的曲线。
学生思考并回答。教师强调。
2、坐标法和解析几何的意义、基本问题。
对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何。解析几何的两大基本问题就是：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。
（2）通过方程，研究平面曲线的性质。
事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题。而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线。本节课就初步研究曲线方程的求法。
【问题】
如何根据已知条件，求出曲线的方程。
【实例分析】
例1：设、两点的坐标是、(3，7)，求线段的垂直平分线的方程。
首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决。
解法一：易求线段的中点坐标为(1，3)，
由斜率关系可求得l的斜率为
于是有
即l的方程为
①
分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决。可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线的方程？根据是什么，有证明吗？
（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）。
证明：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解。
设是线段的.垂直平分线上任意一点，则
即
将上式两边平方，整理得
这说明点的坐标是方程的解。
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
设点的坐标是方程①的任意一解，则
到、的距离分别为
所以，即点在直线上。
综合(1)、(2)，①是所求直线的方程。
至此，证明完毕。回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：
解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合
由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为
将上式两边平方，整理得
果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足。显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证。
这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想。因此是个好方法。
让我们用这个方法试解如下问题：
例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程。
分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有。所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系。然后仿照例1中的解法进行求解。
求解过程略。
【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：
分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：
首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正。说得更准确一点就是：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；
（2）写出适合条件的点的集合
；
（3）用坐标表示条件，列出方程；
（4）化方程为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点。所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明。
上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正。
下面再看一个问题：
例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。
【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系。
解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合
由距离公式，点适合的条件可表示为
①
将①式移项后再两边平方，得
化简得
由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标(0，0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示。
【练习巩固】
题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点轨迹方程。
分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示。设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为。
根据条件，代入坐标可得
化简得
①
由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为
【小结】师生共同总结：
（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？
（2）如何求曲线的方程？
（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价。各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？
【作业】课本第72页练习1，2，3;
高中数学教案4
教学目标：
1、理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；
2、理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法；
3、理解切线概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力和培养学生转化
问题的能力及数形结合思想。
教学重点：
理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法。
教学难点：
用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率。
教学过程：
一、问题情境
1、问题情境。
如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线。
如果将点P附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去几乎成了直线。事实上，如果继续放大，那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线，该直线是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线。
因此，在点P附近我们可以用这条直线来代替曲线，也就是说，点P附近，曲线可以看出直线（即在很小的范围内以直代曲）。
2、探究活动。
如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线，
（1）试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；
（2）在点P附近能作出一条比l1，l2更加逼近曲线的直线l3吗？
（3）在点P附近能作出一条比l1，l2，l3更加逼近曲线的直线吗？
二、建构数学
切线定义： 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线。 随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线。这种方法叫割线逼近切线。
思考：如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？
三、数学运用
例1 试求在点（2，4）处的切线斜率。
解法一 分析：设P（2，4），Q（xQ，f（xQ）），
则割线PQ的斜率为：
当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率；
当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时，即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4。
从而曲线f（x）＝x2在点（2，4）处的切线斜率为4。
解法二 设P（2，4），Q（xQ，xQ2），则割线PQ的斜率为：
当？x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线f（x）＝x2，在点（2，4）处的切线斜率为4。
练习 试求在x＝1处的切线斜率。
解：设P（1，2），Q（1＋Δx，（1＋Δx）2＋1），则割线PQ的斜率为：
当？x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数2，从而曲线f（x）＝x2＋1在x＝1处的切线斜率为2。
小结 求曲线上一点处的切线斜率的一般步骤：
（1）找到定点P的坐标，设出动点Q的.坐标；
（2）求出割线PQ的斜率；
（3）当时，割线逼近切线，那么割线斜率逼近切线斜率。
思考 如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？
解 设
所以，当无限趋近于0时，无限趋近于点处的切线的斜率。
变式训练
1。已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程；
2。已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程；
3。已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程。
课堂练习
已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程。
四、回顾小结
1、曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映（局部以直代曲）。
2、根据定义，利用割线逼近切线的方法， 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。
五、课外作业
高中数学教案5
教学目标：
(1)理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念;
(2)了解全集、空集的意义。
(3)掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力;
(4)会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集;
(5)能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形(文氏图)准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想;
(6)培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力。
教学重点：
子集、补集的概念
教学难点：
弄清元素与子集、属于与包含之间的区别
教学用具：
幻灯机
教学过程设计
(一)导入新课
上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识。
【提出问题】(投影打出)
已知xx，xx，xx，问：
1、哪些集合表示方法是列举法。
2、哪些集合表示方法是描述法。
3、将集M、集从集P用图示法表示。
4、分别说出各集合中的元素。
5、将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来、将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来。
6、集M中元素与集N有何关系、集M中元素与集P有何关系。
【找学生回答】
1、集合M和集合N;(口答)
2、集合P;(口答)
3、(笔练结合板演)
4、集M中元素有-1，1;集N中元素有-1，1，3;集P中元素有-1，1、(口答)
5、xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx(笔练结合板演)
6、集M中任何元素都是集N的元素、集M中任何元素都是集P的元素、(口答)
【引入】在上面见到的集M与集N;集M与集P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题、
(二)新授知识
1、子集
(1)子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。
记作：xx读作：A包含于B或B包含A
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：AxxB或BxxA、
性质：①xx(任何一个集合是它本身的子集)
②xx(空集是任何集合的子集)
【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合?
【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合。
因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的空集也是B的'子集，而这个集合中并不含有B中的元素、由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的。
(2)集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
例：xx，可见，集合xx，是指A、B的所有元素完全相同。
(3)真子集：对于两个集合A与B，如果xx，并且xx，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：xx(或xx)，读作A真包含于B或B真包含A。
【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。”
集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B。
【提问】
(1)xx写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。
(2)xx判断下列写法是否正确
①xxAxx②xxAxx③xx④AxxA
性质：
(1)空集是任何非空集合的真子集。若xxAxx，且A≠xx，则xxA;
(2)如果xx，xx，则xx。
例1xx写出集合xx的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集、
解：集合xx的所有的子集是xx，xx，xx，xx，其中xx，xx，xx是xx的真子集。
【注意】(1)子集与真子集符号的方向。
(2)易混符号
①“xx”与“xx”：元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系。如xxR，{1}xx{1，2，3}
②{0}与xx：{0}是含有一个元素0的集合，xx是不含任何元素的集合。
如：xx{0}。不能写成xx={0}，xx∈{0}
例2xx见教材P8(解略)
例3xx判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正、
(1)xx表示空集;
(2)空集是任何集合的真子集;
(3)xx不是xx;
(4)xx的所有子集是xx;
(5)如果xx且xx，那么B必是A的真子集;
(6)xx与xx不能同时成立、
解：(1)xx不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以(1)不正确;
(2)不正确、空集是任何非空集合的真子集;
(3)不正确、xx与xx表示同一集合;
(4)不正确、xx的所有子集是xx;
(5)正确
(6)不正确、当xx时，xx与xx能同时成立、
例4xx用适当的符号(xx，xx)填空：
(1)xx;xx;xx;
(2)xx;xx;
(3)xx;
(4)设xx，xx，xx，则AxxBxxC、
解：(1)0xx0xx;
(2)xx=xx，xx;
(3)xx，xx∴xx;
(4)A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A=B=C、
【练习】教材P9
用适当的符号(xx，xx)填空：
(1)xx;xx(5)xx;
(2)xx;xx(6)xx;
(3)xx;xx(7)xx;
(4)xx;xx(8)xx、
解：(1)xx;(2)xx;(3)xx;(4)xx;(5)=;(6)xx;(7)xx;(8)xx、
提问：见教材P9例子
(二)xx全集与补集
1、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即xx)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)，记作xx，即
、
A在S中的补集xx可用右图中阴影部分表示、
性质：xxS(xxSA)=A
如：(1)若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则xxSA={2，4，6};
(2)若A={0}，则xxNA=N;
(3)xxRQ是无理数集。
2、全集：
如果集合S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用xx表示。
注：xx是对于给定的全集xx而言的，当全集不同时，补集也会不同。
例如：若xx，当xx时，xx;当xx时，则xx。
例5xx设全集xx，xx，xx，判断xx与xx之间的关系。
解：
练习：见教材P10练习
1、填空：
xx，xx，那么xx，xx。
解：xx，
2、填空：
(1)如果全集xx，那么N的补集xx;
(2)如果全集，xx，那么xx的补集xx(xx)=xx、
解：(1)xx;(2)xx。
(三)小结：本节课学习了以下内容：
1、五个概念(子集、集合相等、真子集、补集、全集，其中子集、补集为重点)
2、五条性质
(1)空集是任何集合的子集。ΦxxA
(2)空集是任何非空集合的真子集。ΦxxAxx(A≠Φ)
(3)任何一个集合是它本身的子集。
(4)如果xx，xx，则xx、
(5)xxS(xxSA)=A
3、两组易混符号：(1)“xx”与“xx”：(2){0}与
(四)课后作业：见教材P10习题1、2
高中数学教案6
教学目标
1．了解映射的概念，象与原象的概念，和一一映射的概念．
（1）明确映射是特殊的对应即由集合 ，集合 和对应法则f三者构成的一个整体，知道映射的特殊之处在于必须是多对一和一对一的对应；
（2）能准确使用数学符号表示映射， 把握映射与一一映射的区别；
（3）会求给定映射的指定元素的象与原象，了解求象与原象的方法．
2．在概念形成过程中，培养学生的观察，比较和归纳的能力．
3．通过映射概念的学习，逐步提高学生对知识的探究能力．
教学建议
教材分析
（1）知识结构
映射是一种特殊的对应，一一映射又是一种特殊的映射，而且函数也是特殊的映射，它们之间的关系可以通过下图表示出来，如图：
由此我们可从集合的包含关系中帮助我们把握相关概念间的区别与联系．
（2）重点，难点分析
本节的教学重点和难点是映射和一一映射概念的形成与认识．
①映射的'概念是比较抽象的概念，它是在初中所学对应的基础上发展而来．教学中应特别强调对应集合 B中的唯一这点要求的理解；
映射是学生在初中所学的对应的基础上学习的，对应本身就是由三部分构成的整体，包括集 合A和集合B及对应法则f，由于法则的不同，对应可分为一对一，多对一，一对多和多对多． 其中只有一对一和多对一的能构成映射，由此可以看到映射必是“对B中之唯一”，而只要是对应就必须保证让A中之任一与B中元素相对应，所以满足一对一和多对一的对应就能体现出“任一对唯一”．
②而一一映射又在映射的基础上增加新的要求，决定了它在学习中是比较困难的．
教法建议
（1）在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手， 选择一些具体的生活例子，然后再举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对一、一对一四种情况，让学生认真观察，比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识．
（2）在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，在集合的选择上可选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法让学生可以比较直观的认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射，比如：
（3）对于学生层次较高的学校可以在给出定义后让学生根据自己的理解举出映射的例子，教师也给出一些映射的例子，让学生从中发现映射的特点，并用自己的语言描述出来，最后教师加以概括，再从中引出一一映射概念；对于学生层次较低的学校，则可以由教师给出一些例子让学生观察，教师引导学生发现映射的特点，一起概括．最后再让学生举例，并逐步增加要求向一一映射靠拢，引出一一映射概念．
（4）关于求象和原象的问题，应在计算的过程中总结方法，特别是求原象的方法是解方程或方程组，还可以通过方程组解的不同情况(有唯一解，无解或有无数解)加深对映射的认识．
（5）在教学方法上可以采用启发，讨论的形式，让学生在实例中去观察，比较，启发学生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例，计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深化的作用．
教学设计方案
2.1映射
教学目标(1)了解映射的概念，象与原象及一一映射的概念．
(2)在概念形成过程中，培养学生的观察，分析对比，归纳的能力．
(3)通过映射概念的学习，逐步提高学生的探究能力．
教学重点难点：:映射概念的形成与认识．
教学用具：实物投影仪
教学方法：启发讨论式
教学过程：
一、引入
在初中，我们已经初步探讨了函数的定义并研究了几类简单的常见函数．在高中，将利用前面集合有关知识，利用映射的观点给出函数的定义．那么映射是什么呢?这就是我们今天要详细的概念．
二、新课
在前一章集合的初步知识中，我们学习了元素与集合及集合与集合之间的关系，而映射是重点研究两个集合的元素与元素之间的对应关系．这要先从我们熟悉的对应说起(用投影仪打出一些对应关系，共6个)
我们今天要研究的是一类特殊的对应，特殊在什么地方呢?
提问1：在这些对应中有哪些是让A中元素就对应B中唯一一个元素?
让学生仔细观察后由学生回答，对有争议的，或漏选，多选的可详细说明理由进行讨论．最后得出(1)，(2)，(5)，(6)是符合条件的(用投影仪将这几个集中在一起)
提问2：能用自己的语言描述一下这几个对应的共性吗？
经过师生共同推敲，将映射的定义引出．(主体内容由学生完成，教师做必要的补充)
高中数学教案7
1.课题填写课题名称（高中代数类课题）
2.教学目标
(1)知识与技能：
通过本节课的学习，掌握......知识，提高学生解决实际问题的能力；
(2)过程与方法：
通过......（讨论、发现、探究），提高......（分析、归纳、比较和概括）的能力；
(3)情感态度与价值观：
通过本节课的学习，增强学生的学习兴趣，将数学应用到实际生活中，增加学生数学学习的乐趣。
3.教学重难点
(1)教学重点：本节课的知识重点
(2)教学难点：易错点、难以理解的知识点
4.教学方法（一般从中选择3个就可以了）
(1)讨论法
(2)情景教学法
(3)问答法
(4)发现法
(5)讲授法
5.教学过程
(1)导入
简单叙述导入课题的方式和方法（例：复习、类比、情境导出本节课的课题）
(2)新授课程（一般分为三个小步骤）
①简单讲解本节课基础知识点（例：奇函数的定义）。
②归纳总结该课题中的重点知识内容，尤其对该注意的一些情况设置易错点，进行强调。可以设计分组讨论环节（分组判断几组函数图像是否为奇函数，并归纳奇函数图像的特点。设置定义域不关于原点对称的函数是否为奇函数的'易错点）。
③拓展延伸，将所学知识拓展延伸到实际题目中，去解决实际生活中的问题。
（在新授课里面一定要表下出讲课的大体流程，但是不必太过详细。）
(3)课堂小结
教师提问，学生回答本节课的收获。
(4)作业提高
布置作业（尽量与实际生活相联系，有所创新）。
6.教学板书
高中数学教案8
（一）教学具准备
直尺，投影仪.
（二）教学目标
1.掌握，的定义域、值域、最值、单调区间.
2.会求含有、的三角式的定义域.
（三）教学过程
1.设置情境
研究函数就是要讨论一些性质，是函数，我们当然也要探讨它的一些属性.本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质.
2.探索研究
师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？
生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等.
师：很好，今天我们就来探索，两条最基本的性质定义域、值域.（板书课题正、余弦函数的定义域、值域.）
师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像.
师：请同学思考以下几个问题：
（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？
（2）正弦、余弦函数的值域是什么？
（3）他们最值情况如何？
（4）他们的正负值区间如何分？
（5）的解集如何？
师生一起归纳得出：
（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是.
（2）正弦函数、余弦函数的`值域都是即，称为正弦函数、余弦函数的有界性.
（3）取最大值、最小值情况：
正弦函数，当时，函数值取最大值1，当时，函数值取最小值－1.
余弦函数，当，时，函数值取最大值1，当，时，函数值取最小值－1.
（4）正负值区间：
（5）零点：
3.例题分析
【例1】求下列函数的定义域、值域：
（1）；（2）；（3）.
解：（1），（2）由
又∵，∴
∴定义域为，值域为.
（3）由，又由
∴
∴定义域为，值域为.
指出：求值域应注意用到或有界性的条件.
【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时的集合：
（1），；（2），；
（3）（4）.
解：（1）当，即时，取得最大值
∴函数的最大值为2，取最大值时的集合为.
（2）当时，即时，取得最大值.
∴函数的最大值为1，取最大值时的集合为.
（3）若，此时函数为常数函数.
若时，∴时，即时，函数取最大值，∴时函数的最大值为，取最大值时的集合为.
（4）若，则当时，函数取得最大值.
若，则，此时函数为常数函数.
若，当时，函数取得最大值.
∴当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为，当时，函数无最大值.
指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行讨论.
思考：此例若改为求最小值，结果如何？
【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？
（1）；（2）.
解：（1）由，∴当时，式子有意义.
（2）由，即
∴当时，式子有意义.
4.演练反馈（投影）
（1）函数，的简图是
（2）函数的最大值和最小值分别为
A.2，－2 B.4，0 C.2，0 D.4，－4
（3）函数的最小值是
A.B.－2 C.D.
（4）如果与同时有意义，则的取值范围应为
A.B.C.D.或
（5）与都是增函数的区间是
A.，B.，C.，D.，（6）函数的定义域________，值域________，时的集合为_________.
参考答案：1.B 2.B 3.A 4.C 5.D
6.；
5.总结提炼
（1），的定义域均为.
（2）、的值域都是
（3）有界性：
（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的集合为无限集.
（5）正负敬意及零点，从图上一目了然.
（6）单调区间也可以从图上看出.
（四）板书设计
1.定义域
2.值域
3.最值
4.正负区间
5.零点
例1
例2
例3
课堂练习
课后思考题：求函数的最大值和最小值及取最值时的集合
提示：
高中数学教案9
教学目标：
1、使学生了解角的形成，理解角的概念掌握角的各种表示法；
2、通过观察、操作培养学生的观察能力和动手操作能力。
3、使学生掌握度、分、秒的进位制,会作度、分、秒间的单位互化
4、采用自学与小组合作学习相结合的方法，培养学生主动参与、勇于探究的精神。
教学重点：
理解角的概念，掌握角的三种表示方法
教学难点：
掌握度、分、秒的进位制, ,会作度、分、秒间的单位互化
教学手段：
教具：电脑课件、实物投影、量角器
学具：量角器需测量的角
教学过程：
一、建立角的概念
（一）引入角（利用课件演示）
1、从生活中引入
提问：
A、以前我们曾经认识过角，那你们能从这两个图形中指出哪些地方是角吗？
B、在我们的生活当中存在着许许多多的角。一起看一看。谁能从这些常用的物品中找出角？
2、从射线引入
提问：
A、昨天我们认识了射线，想从一点可以引出多少条射线？
B、如果从一点出发任意取两条射线，那出现的是什么图形？
C、哪两条射线可以组成一个角？谁来指一指。
（二）认识角，总结角的定义
3、 过渡：角是怎么形成的呢？一起看
（1）、演示：老师在这画上一个点，现在从这点出发引出一条射线，再从这点出发引出第二条射线。
提问：观察从这点引出了几条射线？此时所组成的图形是什么图形？
（2）、判断下列哪些图形是角。
（√） （×） （√） （×） （√）
为何第二幅和第四幅图形不是角？（学生回答）
谁能用自己的话来概括一下怎样组成的图形叫做角？
总结：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角（angle）
角的第二定义：角也可以看做由一条射线绕端点旋转所形成的图形.如下图中的角，可以看做射线OA绕端点0按逆时针方向旋转到OB所形成的我们把OA叫做角的始边，OB叫做角的终边.
B
0 A
4、认识角的各部分名称，明确顶点、边的作用
（1）观看角的图形提问：这个点叫什么？这两条射线叫什么？（学生边说师边标名称）
（2）角可以画在本上、黑板上，那角的位置是由谁决定的?
（3）顶点可以确定角的位置，从顶点引出的两条边可以组成一个角。
5、学会用符号表示角
提问：那么,角的符号是什么?该怎么写,怎么读的呢?(电脑显示)
（1）可以标上三个大写字母,写作:∠ABC或∠CBA,读作:角ABC或角CBA.
（2）观察这两种方法,有什么特点?(字母B都在中间)
（3）所以,在只有一个角的时候,我们还可以写作: ∠B,读作:角B
（4）为了方便,有时我们还可以标上数字,写作∠1,读作:角1
（5）注:区别 “∠”和“ a ， b 是正数，且，求证
［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形.
证明：（见课本）
［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法.此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范.
［点评］解这道题在判断符号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法.要理解为什么分类，怎样分类.分类时要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点.甲有一半时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走；有一半路程乙以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走，如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点.
[分析]设从出发地点至指定地点的'路程为，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为，要回答题目中的问题，只要比较、的大小就可以了.
解：（见课本）
［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题.要培养自己学数学，用数学的良好品质.
设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法.培养学生应用知识解决实际问题的能力.
【课堂练习】
（教师活动）教师打出字幕练习，要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
［字幕］练习：1.设，比较与的大小.
2.已知，求证
设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用.灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号.反馈信息，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤.
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上.
1.比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法.
2.对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.会用分类讨论的方法确定差式的符号.
4.利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤.②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课学习了对差式变形的一种常用方法因式分解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实际问题.
通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养用数学知识解决实际问题的能力.
设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 7、8。
2，思考题：已知，求证
3.研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变）
设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想.研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力.
（五）课后点评
1.教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动.
2.教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用.例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用
高中数学教案10
【教学目标】
1.知识与技能
(1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列：
(2)账务等差数列的通项公式及其推导过程：
(3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。
2.过程与方法
在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。
3.情感、态度与价值观
通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。
【教学重点】
①等差数列的概念;②等差数列的通项公式
【教学难点】
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程.
【学情分析】
我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
【设计思路】
1、教法
①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性.
②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性.
③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点.
2、学法
引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法.
【教学过程】
一、创设情境，引入新课
1、从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么?
2、水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位(单位：m)组成一个什么数列?
3、我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和(单位：元)组成一个什么数列?
教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数.
学生：
①0，5，10，15，20，25，….
②18，15.5，13，10.5，8，5.5.
③10072，10144，10216，10288，10360.
(设置意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型.通过分析,由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力.
二、观察归纳，形成定义
①0，5，10，15，20，25，….
②18，15.5，13，10.5，8，5.5.
③10072，10144，10216，10288，10360.
思考1上述数列有什么共同特点?
思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗?
思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗?
教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念.
学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律;这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定.
教师引导归纳出：等差数列的定义;另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义.
(设计意图：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性;使学生体会到等差数列的规律和共同特点;一开始抓住：“从第二项起，每一项与它的前一项的.差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达.)
三、举一反三，巩固定义
1、判定下列数列是否为等差数列?若是，指出公差d.
(1)1,1,1,1,1;
(2)1,0,1,0,1;
(3)2,1,0,-1,-2;
(4)4,7,10,13,16.
教师出示题目,学生思考回答.教师订正并强调求公差应注意的问题.
注意：公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.
(设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用).
2、思考4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗?为什么?
(设计意图：强化等差数列的证明定义法)
四、利用定义，导出通项
1、已知等差数列：8，5，2，…，求第200项?
2、已知一个等差数列{an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢?
教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示.根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法;让学生初步尝试处理数列问题的常用方法.
(设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力.学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识.鼓励学生自主解答，培养学生运算能力)
五、应用通项，解决问题
1、判断100是不是等差数列2，9，16，…的项?如果是，是第几项?
2、在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.
3、求等差数列3,7,11，…的第4项和第10项
教师：给出问题，让学生自己操练，教师巡视学生答题情况.
学生：教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式
(设计意图：主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系.初步认识“基本量法”求解等差数列问题.)
高中数学教案11
教学目标
（1）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
（2）了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（3）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
（4）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．
重点难点
理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点。
如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点。
教学步骤
（一）引入新课
我们已研究过以二元一次不等式组为约束条件的二元线性目标函数的'线性规划问题。那么是否有多个两个变量的线性规划问题呢？又什么样的问题不用线性规划知识来解决呢？
高中数学教案12
1. 幽默风趣的你，平时在班里话语不多，也不张扬，但是，你在无意中的表现仍然赢得了很好的人际关系，学习上你认真刻苦，也能及时的完成作业，但是我觉得你总是没把全部的心思用在学习上，不然以你的聪明，应该保持在前三名才对啊，加油吧，也许关注学习成绩对你才是更有意义的事!
2. 身为纪律委员的你，认真负责，以身作则，生活上的你平易近人，与同学关系融洽，学习上你勤奋刻苦，尤其在英语的.学习上，显示出了你的语言天赋，我觉得，假如你能把这份自信和兴趣用到其他的学科学习中，也一定会收获很多的!加油吧!
3. 你能严格遵守校规，上课认真听讲，作业完成认真，乐于助人，愿意帮助同学，大扫除时你不怕苦，不怕累，但是英语方面还不够给力，所以，如果再投入一点，定会取得更好的结果，而且你还是一个愿意动脑筋的好学生，如果继续保持下去定会取得骄人的成绩!
4. 你是个懂礼貌明事理的孩子，你能严格遵守班级纪律，热爱集体，对待学习态度端正，上课能够专心听讲，课下能够认真完成作业。你的学习方法有待改进，若能做到学习时心无旁骛就好了，掌握知识也不够牢固，思维能力要进一步培养和提高，平时善于多动笔认真作好笔记，多开动脑筋，相信你一定能在下学期更得更大的进步! 你学习认真刻苦，也能善于思考，更十分活泼，并能严格遵守班级和宿舍纪律，上课你能认真听讲，做作业时你十分专注，常常愿意花功夫钻研难题，与同学相处也十分融洽，但若能在认真做作业的同时，将速度提上去，我相信你会做得更好。要多讲究学习方法，不能靠熬夜来完成学习任务，提高学习效率，老师相信你一定能通过自己的努力取得更好的成绩!
5. 虽然你个头小，但每次你领读时的那股认真劲儿，令老师暗暗称赞。你尊敬老师，和同学能和睦相处。甜美可爱的你，经过不断的努力，你会更出色的!
6. 你是个活泼可爱的孩子，课堂上，你非常投入地学习着，朗读课文时数你最有感情。中午你还主动给老师捶背，真是个会关心人的孩子，老师谢谢你。你十分喜爱读课外书，不过课上可不能偷看啊!愿书成为你的好朋友。
7. 学习中你能严格要求自己，这是你永不落败的秘诀。老师希望你能借助良好的学习方法，抓紧一切时间，笑在最后的一定是你!
8. 许丽君——你思想上进，踏实稳重，诚实谦虚，尊敬老师。黑板报中有你倾注的心血，集体荣誉簿里有你的功劳。但学习的主动精神不够，竞争意识不强，也很少看到你向老师请教，成绩进步不明显。请相信：世上没有比脚更长的路，也没有比心更高的山!望今后大胆进取，多思多问，发挥你的聪明才智，进一步激发活力，提高学习效率，持之以恒，美好的明天属于你!
9. 每天你都背着书包高高兴兴地来上学，学到了不少的知识，可惜只能记住很少的一部分。希望你改进学习方法，提高学习效率，在下学期有更大的进步!
10. 你言语不多，但待人诚恳、礼貌，作风踏实，品学兼优，热爱班级，关爱同学，勤奋好学，思维敏捷，成绩优秀。愿你扎实各科基础，坚持不懈，!一定能考上重点! 优秀的男生肯定是逗人喜欢的，老师希望你能一如既往的优秀，把这种优秀保持在你人生的每一阶段中。你的人生就是辉煌如意的!
高中数学教案13
一、向量的概念
1、既有又有的量叫做向量。用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的，有向线段的箭头所指的方向表示向量的
2、叫做单位向量
3、的向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做。零向量与任一向量平行
4、且的向量叫做相等向量
5、叫做相反向量
二、向量的表示方法：
几何表示法、字母表示法、坐标表示法
三、向量的加减法及其坐标运算
四、实数与向量的乘积
定义：实数 λ 与向量 的积是一个向量，记作λ
五、平面向量基本定理
如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 ，其中e1，e2叫基底
六、向量共线/平行的充要条件
七、非零向量垂直的充要条件
八、线段的.定比分点
设是上的 两点，p是上xx的任意一点，则存在实数，使xxx，则为点p分有向线段所成的比，同时，称p为有向线段的定比分点
定比分点坐标公式及向量式
九、平面向量的数量积
（1）设两个非零向量a和b，作oa=a，ob=b，则∠aob=θ叫a与b的夹角，其范围是[0，π]，|b|cosθ叫b在a上的投影
（2）|a||b|cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即 a·b=|a||b|cosθ
（3）平面向量的数量积的坐标表示
十、平移
典例解读
1、给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b;②若a，b，c，d是不共线的四点，则ab= dc是四边形abcd为平行四边形的充要条件；③若a=b,b=c，则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;⑤若a∥b,b∥c，则a∥c
其中，正确命题的序号是xx
2、已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，则|2a-b|=xxxx
3、若将向量a=(2，1)绕原点按逆时针方向旋转 得到向量b，则向量b的坐标为xx
4、下列算式中不正确的是( )
(a) ab+bc+ca=0 (b) ab-ac=bc
(c) 0·ab=0 (d)λ（μa）=（λμ）a
5、若向量a=（1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，则c=( ）
?函数y=x2的图象按向量a=（2,1)平移后得到的图象的函数表达式为( ）
(a)y=(x-2)2-1 (b)y=(x+2)2-1 (c)y=(x-2)2+1 (d)y=(x+2)2+1
7、平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点a（3，1)，b(-1，3)，若点c满足oc=αoa+βob，其中a、β∈r，且α+β=1,则点c的轨迹方程为( ）
(a)3x+2y-11=0 (b)(x-1)2+(y-2)2=5
(c)2x-y=0 (d)x+2y-5=0
8、设p、q是四边形abcd对角线ac、bd中点，bc=a,da=b，则 pq=xx
9、已知a(5,-1) b(-1,7) c(1,2)，求△abc中∠a平分线长
10、若向量a、b的坐标满足a+b=（-2,-1)，a-b=(4,-3)，则a·b等于( ）
(a)-5 (b)5 (c)7 (d)-1
11、若a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，则( )
(a)(a)2·(b)2=(a·b)2 (b)|a+b|>|a-b|
(c)(a·b)·c-(b·c)·a与b垂直 (d)(a·b)·c-(b·c)·a=0
12、设a=（1,0)，b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，则实数λ的值是( ）
(a)2 (b)0 (c)1 (d)2
16、利用向量证明：△abc中，m为bc的中点，则 ab2+ac2=2(am2+mb2)
17、在三角形abc中， =(2，3)， =(1，k)，且三角形abc的一个内角为直角，求实数k的值
18、已知△abc中，a(2,-1)，b(3,2)，c(-3,-1)，bc边上的高为ad，求点d和向量
高中数学教案14
整体设计
教学分析
我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题。前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值。后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫。
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图象研究指数函数的性质）等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。
根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持。
三维目标
1、通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质。掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质。培养学生观察分析、抽象类比的能力。
2、掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想。通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。
3、能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。
4、通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质。展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美。
重点难点
教学重点
（1）分数指数幂和根式概念的理解。
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质。
（3）运用有理指数幂的性质进行化简、求值。
教学难点
（1）分数指数幂及根式概念的理解。
（2）有理指数幂性质的灵活应用。
课时安排
3课时
教学过程
第1课时
作者：路致芳
导入新课
思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？（考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚）考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的。教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算。
思路2.同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算。
推进新课
新知探究
提出问题
（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
（2）如x4=a，x5=a，x6=a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？
（3）根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？
（4）可否用一个式子表达呢？
活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维。
讨论结果：(1)若x2=a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3=a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：-8的立方根为-2.
（2）类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根。一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根。一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根。
（3）类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根。
（4）用一个式子表达是，若xn=a，则x叫a的n次方根。
教师板书n次方根的意义：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整数集。
可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。
提出问题
（1）你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？（多媒体显示以下题目）。
①4的平方根；②±8的立方根；③16的`4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。
（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，-32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？
（3）问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？
（4）任何一个数a的偶次方根是否存在呢？
活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。
讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.
（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数。总的来看，这些数包括正数，负数和零。
（3）一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数。0的任何次方根都是0.
（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数。
类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：
①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。
②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。
③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零。
上面的文字语言可用下面的式子表示：
a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个为na，n为偶数，a的n次方根有两个为±na.
a为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个为na，n为偶数，a的n次方根不存在。
零的n次方根为零，记为n0=0.
可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例。
思考
根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？
活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题。
解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，-27的5次方根为5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称——根式。
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数。
如3-27中，3叫根指数，-27叫被开方数。
思考
nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立吗？如果不一定成立，那么nan等于什么？
活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论。教师点拨，注意归纳整理。
〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。
解答：根据n次方根的意义，可得：(na)n=a.
通过探究得到：n为奇数，nan=a.
n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，ab)。
活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析。观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药。求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数。
解：(1)3(-8)3=-8;
（2）(-10)2=10;
（3)4(3-π）4=π-3;
（4）(a-b)2=a-b(a>b)。
点评：不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用。
变式训练
求出下列各式的值：
(1)7(-2)7;
(2)3(3a-3)3(a≤1)；
(3)4(3a-3)4.
解：(1)7(-2)7=-2，(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，(3)4(3a-3)4=
点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解。
思路2
例1下列各式中正确的是
A.4a4=a
B.6(-2)2=3-2
C.a0=1
D.10(2-1)5=2-1
活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答。
解析：(1)4a4=a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写nan=|a|，故A项错。
(2)6(-2)2=3-2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(-2)2=32，故B项错。
(3)a0=1是有条件的，即a≠0，故C项也错。
(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确。所以答案选D.
答案：D
点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心。
例2 3+22+3-22=__________.
活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式。正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路。
解析：因为3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，所以3+22+3-22=22.
答案：22
点评：不难看出3-22与3+22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式。
思考
上面的例2还有别的解法吗？
活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“+”，一个是“-”，去掉一层根号后，相加正好抵消。同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法。
另解：利用整体思想，x=3+22+3-22，两边平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.
点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A+2B±A-2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解。
变式训练
若a2-2a+1=a-1，求a的取值范围。
解：因为a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，即a-1≥0，所以a≥1.
点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键。
知能训练
（教师用多媒体显示在屏幕上）
1、以下说法正确的是
A.正数的n次方根是一个正数
B.负数的n次方根是一个负数
C.0的n次方根是零
D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整数集）
答案：C
2、化简下列各式：
(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.
答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。
3、计算7+40+7-40=__________.
解析：7+40+7-40
=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2
=(5+2)2+(5-2)2
=5+2+5-2
=25.
答案：25
拓展提升
问题：nan=a与(na)n=a(n>1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明。
活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义。
通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下。再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论。
解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。
如果xn=a(n>1，且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x=na一定是它的一个n次方根，所以(na)n=a恒成立。
例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.
(2)nan=a|a|，当n为奇数，当n为偶数。
当n为奇数时，a∈R，nan=a恒成立。
例如：525=2，5(-2)5=-2.
当n为偶数时，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有条件的。
点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解。
课堂小结
学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上。
1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整数集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数。
（1）当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。
(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。
（3）负数没有偶次方根。0的任何次方根都是零。
2、掌握两个公式：n为奇数时，(na)n=a，n为偶数时，nan=|a|=a，-a，a≥0，a
解析：因为5
答案：2a-13
3.5+26+5-26=__________.
解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，不难看出5+26=(3+2)2=3+2.
同理5-26=(3-2)2=3-2.
所以5+26+5-26=23.
答案：23
设计感想
学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a>0，a0，①；
②a8=(a4)2=a4=，；
③4a12=4(a3)4=a3=；
④2a10=2(a5)2=a5= 。
（3）利用(2)的规律，你能表示下列式子吗？
，(x>0，m，n∈正整数集，且n>1)。
（4）你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？
（5）你能推广到一般的情形吗？
活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示。
讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00无意义；
a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。实质上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变。
根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）。
（3）利用(2)的规律，453=，375=，5a7=，nxm= 。
(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。
结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的。
（5）如果a>0，那么am的n次方根可表示为nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)。
综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：
规定：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)。
提出问题
（1）负整数指数幂的意义是怎样规定的？
（2）你能得出负分数指数幂的意义吗？
（3）你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？
（4）综合上述，如何规定分数指数幂的意义？
（5）分数指数幂的意义中，为什么规定a>0，去掉这个规定会产生什么样的后果？
（6）既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？
活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a>0的必要性，教师及时作出评价。
讨论结果：(1)负整数指数幂的意义是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。
（2）既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义。
规定：正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。
（3）规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。
（4）教师板书分数指数幂的意义。分数指数幂的意义就是：
正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。
（5）若没有a>0这个条件会怎样呢？
如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的。因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a>0的条件，比如式子3a2=，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上。
（6）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。
有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：
①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题。
应用示例
例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。
活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2-1，1681写成234，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来。
解：(1) =22=4;
（2）=5-1=15;
(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
（4）=23-3=278.
点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解。在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如=382=364=4.
例2用分数指数幂的形式表示下列各式。
a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。
活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结。
解：a3?a=a3? =；
a2?3a2=a2? =；
a3a= 。
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算。对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。
例3计算下列各式（式中字母都是正数）。
（1）；
（2）。
活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤。
解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;
（2）=m2n-3=m2n3.
点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法。有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了。
本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用。
变式训练
求值：(1)33?33?63;
(2)627m3125n64.
解：(1)33?33?63= =32=9;
(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.
例4计算下列各式：
（1）(325-125)÷425;
(2)a2a?3a2(a>0)。
活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底。利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答。
解：(1)原式=
= =65-5;
(2)a2a?3a2= =6a5.
知能训练
课本本节练习1,2,3
【补充练习】
教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励。
1、(1)下列运算中，正确的是
A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6
（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意义的是
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
（3）(34a6)2?(43a6)2等于
A.a B.a2 C.a3 D.a4
（4）把根式-25(a-b)-2改写成分数指数幂的形式为
A. B.
C. D.
（5）化简的结果是
A.6a B.-a C.-9a D.9a
2、计算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.
（2）设5x=4,5y=2，则52x-y=__________.
3、已知x+y=12，xy=9且x
所以原式= =12-6-63=-33.
拓展提升
1、化简：。
活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：
x-1= -13=；
x+1= +13=；
。
构建解题思路教师适时启发提示。
解：
=
=
=
= 。
点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，=a-b，=a± +b，=a±b.
2、已知，探究下列各式的值的求法。
(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。
解：(1)将，两边平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;
（2）将a+a-1=7两边平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47;
（3）由于，所以有=a+a-1+1=8.
点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值。
课堂小结
活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流。同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：
（1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。
（2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。
（3）有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：
①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
（4）说明两点：
①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系。
②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用。因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用=am来计算。
作业
课本习题2.1A组2,4.
设计感想
本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务。
第3课时
作者：郑芳鸣
导入新课
思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数（有理数），有理数到实数。并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数。对无理数指数幂，也是这样扩充而来。既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂。
思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，教师板书本节课的课题。
推进新课
新知探究
提出问题
（1）我们知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？
（2）多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律？
2的过剩近似值
的近似值
1.5 11.180 339 89
1.42 9.829 635 328
1.415 9.750 851 808
1.414 3 9.739 872 62
1.414 22 9.738 618 643
1.414 214 9.738 524 602
1.414 213 6 9.738 518 332
1.414 213 57 9.738 517 862
1.414 213 563 9.738 517 752
… …
的近似值
2的不足近似值
9.518 269 694 1.4
9.672 669 973 1.41
9.735 171 039 1.414
9.738 305 174 1.414 2
9.738 461 907 1.414 21
9.738 508 928 1.414 213
9.738 516 765 1.414 213 5
9.738 517 705 1.414 213 56
9.738 517 736 1.414 213 562
… …
（3）你能给上述思想起个名字吗？
（4）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？
（5）借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？
活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：
问题(1)从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向。
问题(2)对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联。
问题(3)上述方法实际上是无限接近，最后是逼近。
问题(4)对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释。
问题(5)在(3)(4)的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般。
讨论结果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值。
（2）第一个表：从大于2的方向逼近2时，就从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。
第二个表：从小于2的方向逼近2时，就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。
从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以说从两个方向无限地接近，即逼近，所以是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是一定是一个实数，即51.40，α是无理数）是一个确定的实数。
也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数。我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂。
提出问题
（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？
（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？
（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗？
活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳。
对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明。
对问题（2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂aα(a>0，α是无理数）是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通。
对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了。
讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1还是-1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂aα是一个确定的实数，就不会再造成混乱。
（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂。类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：
①ar?as=ar+s（a>0，r，s都是无理数）。
②（ar)s=ars(a>0，r，s都是无理数）。
③（a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是无理数）。
（3）指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂。
实数指数幂的运算性质：
对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：
①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。
②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。
③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。
应用示例
例1利用函数计算器计算。（精确到0.001）
(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。
活动：教师教会学生利用函数计算器计算，熟悉计算器的各键的功能，正确输入各类数，算出数值，对于(1)，可先按底数0.3，再按xy键，再按幂指数2.1，最后按=，即可求得它的值；
对于(2)，先按底数3.14，再按xy键，再按负号-键，再按3，最后按=即可；
对于(3)，先按底数3.1，再按xy键，再按3÷4，最后按=即可；
对于(4)，这种无理指数幂，可先按底数3，其次按xy键，再按键，再按3，最后按=键。有时也可按2ndf或shift键，使用键上面的功能去运算。
学生可以相互交流，挖掘计算器的用途。
解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705.
点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n位，只需看第(n+1)位能否进位即可。
例2求值或化简。
(1)a-4b23ab2(a>0，b>0)；
（2）(a>0，b>0)；
(3)5-26+7-43-6-42.
活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律。
解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。
点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示。
高中数学教案15
教学目标：
1。理解并掌握瞬时速度的定义；
2。会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度；
3。理解瞬时速度的实际背景，培养学生解决实际问题的能力。
教学重点：
会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度。
教学难点：
理解瞬时速度和瞬时加速度的定义。
教学过程：
一、问题情境
1。问题情境。
平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度。
问题一平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度。那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？
问题二跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设t秒后运动员相对于水面的高度为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10,试确定t＝2s时运动员的速度.
2。探究活动：
(1)计算运动员在2s到2.1s(t∈)内的平均速度。
(2)计算运动员在2s到（2＋?t）s(t∈)内的平均速度。
(3)如何计算运动员在更短时间内的平均速度。
探究结论：
时间区间
t
平均速度
0.1
-13.59
0.01
-13.149
0.001
-13.1049
0.0001
-13.10049
0.00001
-13.100049
0.000001
-13.1000049
当?t?0时，?－13.1，
该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。
即t＝2s时，高度对于时间的瞬时变化率。
二、建构数学
1。平均速度。
设物体作直线运动所经过的路程为,以为起始时刻，物体在?t时间内的平均速度为。
可作为物体在时刻的速度的近似值，?t越小，近似的`程度就越好。所以当?t?0时，极限就是物体在时刻的瞬时速度。
三、数学运用
例1物体作自由落体运动，运动方程为，其中位移单位是m，时
间单位是s，，求：
（1）物体在时间区间s上的平均速度；
（2）物体在时间区间上的平均速度；
（3）物体在t＝2s时的瞬时速度。
分析
解
（1）将?t＝0.1代入上式，得：＝2.05g＝20.5m/s。
（2）将?t＝0.01代入上式，得：＝2.005g＝20.05m/s。
（3）当?t?0，2＋?t?2，从而平均速度的极限为：
例2设一辆轿车在公路上作直线运动，假设时的速度为，
求当时轿车的瞬时加速度。
解
∴当?t无限趋于0时，无限趋于，即＝。
练习
课本P12—1，2。
四、回顾小结
问题1本节课你学到了什么？
1理解瞬时速度和瞬时加速度的定义；
2实际应用问题中瞬时速度和瞬时加速度的求解；
问题2解决瞬时速度和瞬时加速度问题需要注意什么？
注意当?t?0时，瞬时速度和瞬时加速度的极限值。
问题3本节课体现了哪些数学思想方法？
2极限的思想方法。
3特殊到一般、从具体到抽象的推理方法。
五、课外作业
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