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三角形内角和的案例分析与反思
数学教学主要是数学思维活动的教学。学生初步的逻辑思维能力的发展需要有一个长期的培养和训练过程。数学教学的思维训练，是根据学生的思维特点，结合教学内容在教学过程中实现的。课堂教学是对学生进行思维训练的主阵地，所以，要把思维训练贯穿于数学教学的各个方面。从下面的几个案例中可以看出如何在教学中进行数学思维的提升。
[案例1]
几年前，曾经听过一堂《三角形的内角和》的公开课，那时是五年级的教学内容。事隔多年，具体的细节已淡忘，但是依稀记得大致的流程是：教师让学生量出形状各异的三角形的三个内角的度数，然后算出三个内角的和，最后得出结论。通过测量大部分的学生得出的结果并不是180度。老师解释说，这是因为量角产生了误差，如果没有误差，应该是180度。学生似懂非懂，心存疑虑，为什么偏偏是180度，而不是179度或181度呢?老师说180度就：180度吧。
反思：显然该流程中的学生是在教师的指令下量角，进行计算，不知道为什么是这样做。得出的结论也是老师强加给学生的，是一种典型的“填鸭式”教学。学生只是知道了这个知识，没有学到数学的方法，更没有思维的提升。相反，在某种程度上，给学生一种误解，数学的结论似乎可以模模糊糊，大致这样就可以了。
[案例2]
今年，我也教学《三角形的内角和》，是给四年级的孩子上的。过程如下：
新课开始，复习三角板的三个角的度数，计算三角板的三个角的和。
师：同学们，在我们上学期画角的时候知道我们三角板的三个角有几度吗？
生1：一种是：一个角90度、一个角30度、一个角60度。
生2：还有一种是一个角90度，两个角是45度。
师：对，我手中拿的两块三角板就是同学们刚才所说的三角板，请同学们计算这两三角板的内角和分别是几度？
生：是180度
师：那么从这里我们可以得出什么结论呀？
生1：是不是直角三形的内角和是180度。
生2：是不是所有三角形的内角和是180度。
（学生1讲时，大多学生表示可以接受，当学生2讲时，有很多学生露出疑惑的眼神。当时我想是不是直接讲第二个问题呢？可又怕学生一时接受不了，于是我再次把问题抛给学生。）
师：你们有什么办法证明所有的直角三角形的内角和是180度吗？可独立思考，也可与周围的同学进行讨论。
生1：：一个正方形能分成两个直角三角形，正方形的内角和是360度，所以一个三角形的内角和是180度。
师：你说得对，可这是一种特殊的直角三角形。
生2：任何一个长方形也都能分成两个相同的直角三角形，而长方形的内角和是360度，那么这两个相同的直角三角形的内角和也一定是180度，所以直角三角形的内角和是180度。我心里不由暗暗佩服，这孩子的推理无懈可击。还有很多孩子的手高高地举在那里。
生3：只要证明两个锐角的和是90度就行了。
我向学生竖起大拇指说：这个想法好，可是怎么证明两个锐角的和是90度呢。于是量一量，拼一拼的方法应运而生。接下去的教学就顺理成章了。
师：既然直角三角形的内角和是180度，由此我们猜测，是不是……
班里学生的学习积极性被充分调动起来，纷纷抢着说：是不是锐角三角形的内角和也是180度呢?；是不是钝角三角形的内角和也是180度呢？
孩子们又用拼一拼、量一量的方法，得出了正确的结论。
反思：学生从计算三角板的内角和是180度，猜测所有的直角三角形的内角和是180度，验证的方法又是多维的，或从正方形、长方形的内角和推出直角三角形的内角和，或证明两个锐角的和是90度。受上面方法的启发，又用量一量、拼一拼的方法验证钝角三角形、锐角三角形的内角和是180度，把三个角拼成一个“平角”，较好地弥补了量一量所造成的误差，得出的结论是比较可信的。
学生在解决数学问题时，常常需要把面对的问题通过转化、分析、综合、假设等变化成已知的数学问题。 在这个思维过程中，要依据具体情况恰当地运用分析与综合、具体与抽象、求同与求异、一般与特殊等思维方法。通过猜测、验证引导学生“层层剥笋”地探究新知，渗透了“由特殊到一般”的方法，孩子们自主得出了结论。验证方法的多样性不仅提高了结论的可靠性，也培养了学生的创新意识。
[案例3]
最近，我又听了其他老师上的这一堂课，他的教学过程给我留下了深刻印象。
在认识了内角，复习了三角形按角的分类，回忆了一个三角形至少有两个锐角后。
师：想象一下，有没有两个直角、两个钝角、或一个直角一个钝角的三角形，也可以画一画，摆一摆。
同学们听后纷纷动手摆、画。
一分钟后，教师出示学生画或摆的各种图形，发现这些根本不可能组成一个三角形。
师：那么这些图形怎样才能变成三角形呢？
同学们通过画、摆，得出要形成一个三角形，必须把角的边往里靠，也就是两个角的和要小于180度。
师：这就是我们学习的方法，先观察思考，再得出结论。那么你们说说三角形的内角、和有几度呢？
生1：有190度吧。
生2：有200度吧
生3：反正不会小于180度。
师：刚才同学们说了这么多，到底有几度呢？下面我们采用什么方法来知道三角形的三个内角有度呢？
生：我们不是学过量角了吗，那我们把这三个角量一量，再加起来就知道三角形的内角和有几度了呀！
师：真聪明，那我们就按他的方法量一量吧。
（验证开始了，学生们量了几个三角形，当然得出的结论只能是在180度左右。）
师：用量的方法有误差，只能说明在180度左右，，如果我们计算的是航天飞机发射的角度能仅仅算出大约的角度吗?我们还有什么更准确的方法吗？
（接着学生想到的是用“拼”的办法，把三个角撕下来拼成一个“平角”。）
师：既然是平角，你能确定下面肯定是一条直的线吗?
（学生面面相觑，不敢确定。）
师：这说明用拼的方法也有误差。那么同学们还有什么办法呀！
（这时学生的思维被教师调动起来了，有学生提出把一个长方形对折，能证明直角三角形的内角和是180度。）
师：对，这种方法很好，下面我们能否利用直角三角形的内角和来推出锐角三角形与钝角三角形的内角和呢？
（课堂安静下来，孩子们在思考）
教师作进一步的提示，能否把锐角三角形转化成直角三角形。两个直角三角形的内角和是360度，减去两个直角，余下的180度全是锐角三角形的内角和。同理，钝角三角形的内角和，学生很快就自主得到了。
反思：三角形的三个角能拼成一个平角，理论上说是对的。从成人的角度来说，我们能肯定那一定是一个平角，因为我们知道三角形的内角和是180度，但是在孩子的眼里，看到的只是“近似”的直线。所以，当老师说“拼”的方法也有误差，听课的老师在下面暗自否定这种想法的时候，孩子们却是频频点头。接下的推理，是严密的，无懈可击的，结论是孩子们信服的。孩子有自己的眼光看数学，教师应蹲下身子，和孩子站在同一视平线上，真正走入了孩子的心田。
在这节课上，学生知其然也知其所以然，通过思辨引导学生多想一步，想深一步，体会到数学本身的逻辑性和严密性。学生在掌握知识的同时，领会了数学方法，感悟了数学思想，为今后的可持续发展奠定了坚实的基础。
特级教师钱阳辉说过：“如果知识背后没有方法，知识只能是一种沉重的负担；如果方法背后没有思想，方法只不过是一种笨拙的工具。”数学教学要使学生学会数学地思维，这是数学教学要追求的境界，也是数学教学的本质要求。
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