一元二次方程教学设计

一元二次方程教学设计

　　作为一名教学工作者，时常需要用到教学设计，教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。优秀的教学设计都具备一些什么特点呢？下面是小编为大家整理的一元二次方程教学设计，欢迎大家分享。

一元二次方程教学设计1

　　一、学生知识状况分析

　　学生已经学习了一元二次方程及其解法，对于方程的解及解方程并不陌生，实际问题的应用，有些抽象，虽然学生在七、八年级已经进行了有关的训练，但还是有一定的难度。

　　本节内容针对的学生是才进入九年级的学生，他们已经具备了一定的抽象思维和建模能力，也具备一定的生活经验和初步的解一元二次方程的经验。

　　二、教学任务分析

　　本节课的主要是发展学生抽象思维，强化学生的应用意识，使学生能通过抽象思维将一个应用题抽象成一元二次方程使问题得以解决，这也是方程教学的重要任务。但学生抽象意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及抽象思维的初步形成。显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。为此，本节课的教学目标是：

　　知识目标：

　　通过分析问题中的数量关系，抽象出方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。

　　能力目标：

　　1、经历分析，抽象和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；

　　2、能够抽象出一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；

　　情感态度价值观：

　　在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。

　　三、学法指导

　　本课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，虽然学生在七八年级已经进行了一定的训练，但本课对学生而言还是有一定的难度。本课采用启发式、问题串讨论式、合作学习相结合的方式,引导学生从已有的知识和生活经验出发，以教材提供的素材为基础，引导学生对对问题中的数量进行分析从而抽象出方程解决问题；学生之间的合作交流、互助学习，能更好地调动学生的学习积极性，更符合学生的认知规律。无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，更好地进行学法指导。

　　四、教学过程分析

　　本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固，情境导入；第二环节：做一做，探索新知；第三环节：练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。

　　第一环节；情境导入

　　活动内容：提出问题：还记得梯子下滑的问题吗？

　　在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？如果梯子长度是13米，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？

　　分组讨论：

　　怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理抽象出方程？

　　活动目的：以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材，以前面所学的勾股定理为切入点，用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知识为支点抽象出一元二次方程使问题得以解决，进一步让学生体会数形结合的思想。

　　活动的实际效果：大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系抽象出方程对上述问题进行思考，能够在老师的引导下主动地探究问题，取得了比较理想的效果，而且也调动了学生的.学习热情，激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。

　　第二环节探索新知

　　活动内容：见课本P53页例1：

　　如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。

　　已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）

　　在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决。在讲解过程中可逐步分解难点：审清题意；找准各条有关线段的长度关系；通过抽象思维建立方程模型，之后求解。

　　实际应用问题比较抽象，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抽象出图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系，从而抽象出方程模型解决问题。

　　在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点：

　　（1）要求DE的长，需要如何设未知数？

　　（2）怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？

　　（3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？

　　（4）选定后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？

　　学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后抽象出题目中的等量关系即：

　　速度等量：V军舰=2×V补给船

　　时间等量：t军舰=t补给船

　　三边数量关系：

　　弄清图形中线段长表示的量：已知AB=BC=200海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表示军舰的路程。

　　学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段：DE、EF的长，根据勾股定理抽象出方程求解，并判断解的合理性。

　　巩固练习：1、一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角的面积是多少？

　　文本框:8cm2、如图：在RtACB中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半？

　　3、在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？

　　说明：三个题目的设计从简单问题入手，第一题通过勾股定理抽象出一元二次方程解决直角三角形边长问题；第2题构造了一个可变的直角三角形，抽象出方程解决面积问题；第三题也是面积问题，在这个问题中常设道路宽为x米，通过平移道路使六块田地变成一块田地，从而根据矩形面积公式抽象出方程解决问题。

　　活动目的：一元二次方程的应用题的类型较多，像数字问题、面积问题、平均增长（或降低）率问题、利润问题等；本节课以教材上的引例作为出发点，作为素材来呈现，可以将应用类型作适当的拓展，在练习中将教材中的应用问题归类呈现出来，便于学生理解和掌握。本课由数形结合问题拓展到面积问题，后面可以在练习中增加数字问题，为学生呈现更多的应用类型，让学生在不同的情境中体会数学抽象和建模的重要性。

　　活动实际效果：应用问题设置都经过精心准备。通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难，体会到通过抽象出方程解应用题的三个重要环节：整体系统的审清题意；寻找等量关系；正确求解并检验解的合理性。采取的是一讲一练，从巩固练习的准确程度上来看，学生掌握得比较好，能够达到预期的效果。

　　第三环节：练一练，巩固新知

　　活动内容：1、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4800cm2。求原正方形钢板的面积。

　　2、有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？

　　3、《九章算术》“勾股”章有一题：甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3。乙一直向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？

　　活动目的：通过三道问题的解决，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用知识的程度。在教学过程中要以学生为主体，引导学生自主发现、合作交流。活动实际效果：学生在前面活动中积累的经验，可以帮助学生比较顺利地分析上述问题，遇有疑难可以让学生在合作交流中解决，学生在训练过程中更加理解数学抽象和建模的重要性．大部分学生能够独立解决问题。

　　第四环节：收获与感悟

　　活动内容：提问：

　　1、列方程解应用题的关键；2、列方程解应用题的步骤；3、列方程应注意的一些问题。

　　学生在学习小组中回顾与反思，并进行组间交流发言。

　　活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，还有什么疑难问题希望得到解决；通过对三个问题的解决，加深学生通过抽象思维抽象出方程解决实际问题的意识和能力；并且通过学生间的合作学习帮助不同层次的孩子解决实际困难，增强孩子学好数学的信心。

　　活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用抽象思维抽象出一元二次方程解决实际问题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力。

　　第五环节：布置作业

　　1、甲乙两个小朋友的年龄相差4岁，两个人的年龄相乘积等于45，你知道这两个小朋友几岁吗？

　　2、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246，求小路的宽度。

　　3、一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数比个位数小2，求这两位数。

一元二次方程教学设计2

　　教材分析

　　本节课是以成本下降为问题探究，讨论平均变化率的问题，这类问题在现实世界中有很多的原型，例如经济增长率、人口增长率等等，联系生活实际很密切，这类问题也是一元二次方程在生活中最典型的应用。本节课主要是讨论两轮（即两个时间段）的平均变化率，它可以用一元二次方程作为数学模型。

　　学情分析

　　1、由于我们的学生对列方程解应用题有畏惧的心理，感觉很困难，根据探究1学生的掌握情况来看，决定把探究2作为一课时，来专门学习。

　　2、学生对列方程解应用题的步骤已经很熟悉，而且有了第一课时连续传播问题的做铺垫，适合用自主探究，合作交流的学习方法。

　　3、连续增长问题的中的数量关系、规律的发现是本节课的难点，所以我把问题分解了让学生逐个突破，由于九年级学生具有一定的解题归纳能力，所以采用从一般到特殊的探究方式。

　　教学目标

　　知识与技能：

　　1、能根据具体问题中的.数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。

　　2、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

　　过程与方法：

　　1、经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

　　2、通过成本降低、能源增长等实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，发展实践应用意识。

　　情感与态度：通过用一元一次方程解决身边的问题，体会数学知识的应用价值，提高学生学习数学的兴趣。

　　教学重点和难点

　　重点：利用增长率问题中的数量关系，列出方程解决问题

　　难点：理清增长率问题中的数量关系

一元二次方程教学设计3

　　一、教学内容分析

　　华师版九年级(上)23章《一元二次方程的根的判别式》一节，教材中作为阅读材料。从推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位。

　　从知识的发展来看，学生通过对一元二次方程的根的判别式的学习，可以巩固已学过实数、整式、二次根式、一元一次不等式、一元二次方程的相关概念、一元二次方程的解法等知识，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究二次函数的图像与x轴交点情况，二次三项式以及二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。

　　通过这一节的学习，使学生会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，感受数学的简洁美。

　　教学重点：根的判别式的正确理解和运用

　　教学难点：含字母系数的一元二次方程根的判别式的运用。

　　二、学情分析

　　学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究作用，它是前面知识的深化与总结。

　　九年级学生的认识水平渐渐由具体直觉占优势过渡到抽象思维占优势。教师的指导方法应适应他们的认知特点和相应规律。

　　从数学思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。

　　三、教学目标

　　知识和技能目标：

　　1、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证;

　　2、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围;

　　过程和方法目标：

　　1、经历一元二次方程的根的判别式的产生的过程;

　　2、向学生渗透分类的数学思想;

　　3、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。

　　情感态度价值观目标：

　　1、体验数学的简洁美;

　　2、培养学生的探索、创新精神和协作精神。

　　四、教法、学法：

　　教法：

　　1、探索发现：本着“以学生发展为本”的教育理念，教师启发、诱导，学生探索发现新知识;

　　2、观察演示：通过典型例题的分析、研究，引发学生的思考、质疑、解疑;

　　3、归纳总结：通过课堂小结，完善认知结构，提高认识能力;

　　4、讲练结合：通过变式训练、拓展训练，让学生学会分类、类比、转化等数学思想，培养学生分析问题和解决问题的能力。

　　学法：

　　1、自主探索：为了体现课改中“以学生为主体”的教育理念，通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与发现、归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

　　2、合作交流：课上通过师生之间的互动，学生与学生之间的互动，充分发挥学生的主体作用。

　　五、教学过程：

一元二次方程教学设计4

　　教材内容

　　1、本单元教学的主要内容。

　　一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程的应用题。

　　2本、单元在教材中的地位与作用。

　　一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程组》、《分式方程》等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，应该说，一元二次方程是本书的重点内容。

　　教学目标

　　1、知识与技能

　　了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题。

　　2、过程与方法

　　（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型。根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念。

　　（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的`派生概念，如二次项等。

　　（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程。

　　（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2—4ac>0，b2—4ac=0，b2—4ac<0。

　　（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它。

　　（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题。

　　3、情感、态度与价值观

　　经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣。

　　教学重点

　　1、一元二次方程及其它有关的概念。

　　2、用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。

　　3、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题。

　　教学难点

　　1、一元二次方程配方法解题。

　　2、建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别。

　　教学关键

　　1、分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型。

　　2、用配方法解一元二次方程的步骤。

　　3、解一元二次方程公式法的推导。

　　课时划分

　　本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：

　　22.1一元二次方程2课时

　　22.2降次──解一元二次方程4课时（直接开方法1、配方法1、公式法1、因式分解法1）

　　习题课1课时

　　22.3实际问题与一元二次方程3课时

　　小结1课时

一元二次方程教学设计5

　　课型：新授课

　　学习目标：

　　1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并利用它解决具体问题．

　　2.学会运用数学知识分析解决实际问题，体会数学的价值。

　　重点:列一元二次方程解应用题

　　难点:学会分析问题中的等量关系

　　一、知识回顾

　　列方程解应用题的一般步骤是①②③④⑤⑥

　　二、自学教材、合作探究

　　1、自学教材45页，学习分析“探究一”中的数量关系

　　设每轮传染中平均一个人传染了x个人。开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，那么，用代数式表示，第一轮后共有（ ）人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有（ ）人患了流感。则可列方程为：

　　2、解这个方程，得

　　3、想一想：三轮传染后有多少人患流感？四轮呢？

　　三、检查自学效果

　　1.(xxxx年毕节地区)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（ ）

　　A．8人B．9人C．10人D．11人

　　2.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件;全组共互赠了182件.如果全组有x名学生,则根据题意列出的方程是（ ）

　　A. B. C. D.

　　四、指导学生应用

　　某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（xxxx广东中考9分）

　　解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑，1分

　　4分

　　解之得6分

　　8分

　　答：每轮平均每一台电脑会感染台电脑，3轮感染后，被感染的电脑超过700台。

　　五、巩固训练：

　　1．一个多边形的对角线有9条，则这个多边形的边数是（ ）.

　　A．6 B.7 C．8 D.9

　　2．元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有( )人

　　A.11 B.12 C.13 D.14

　　3．九年级（3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的`图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是（ ）

　　A．x（x+1）=240 B．x（x-1）=240

　　C．2x（x+1）=240 D．x（x+1）=240

　　4．参加中秋晚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，则有（ ）人参加聚会。

　　5．学校组织了一次篮球单循环比赛，共进行了15场比赛，那么有个球队参加了这次比赛。

　　6．甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？

　　反思：2题和4题列方程时为何不一样呢？

　　六、归纳小结：

　　1.本节课我们学习了列一元一次方程解应用题，要注意解题步骤，特别地，要检验解的结果是否正确与符合题意，并注意题型的积累。

　　2.（方法归纳）解应用题地步骤是：审、设、列、解、检、答，关键是寻找等量关系，可以采用列式法，线段图示法，列表法等来帮助寻找，并注重检验。

　　七、效果测评：

　　1.解下列方程。（1）+10x+21=0（2）-x=1

　　2.两个相邻的偶数的积是240，求这两个偶数。

　　3.参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？

一元二次方程教学设计6

　　课题名称

　　一元二次方程

　　科目

　　数学

　　年级

　　九年级

　　教学时间

　　一课时

　　学习者分析

　　学生的学习思维、解决问题等能力的高低叁差不齐。从学生现有的情况来看，多数同学对列方程解应用题感觉较难掌握，面对题意无法找出等量关系。另外，很多学生的计算能力也不强。因此，在教学中主要以较为简单的基础题为授课主线，其中参入少数中档题供一些学有余力的学生思考。

　　教学目标

　　一、情感态度与价值观

　　1、培养学生主动探索、敢于实勇于发现、合作交流的精神。

　　二、过程与方法

　　1、经历抽象一元二次方程的过程，使学生体会出方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型

　　2、经历探索满足方程解的过程，发展估算的意识和能力。

　　三、知识与技能

　　1、充分了解一元二次方程的概念

　　2、正确掌握一元二次方程的一般形式。

　　教学重点、难点

　　1、一元二次方程的概念及一般形式。

　　2、由实际问题向数学问题的转化过程。

　　3、正确识别一般式中的“项”及“系数”。

　　教学资源

　　多媒体课件

　　教学过程

　　教学活动1

　　一、创设情境，导入新课

　　问题1：

　　2008年奥运会将在北京举办，许多大学生都希望为奥运奉献自己的一份力量。现组委会决定对高校奥运志愿者进行分批培训，由已合格人员培训第一轮人员，再由前面所有合格人员培训第二轮人员，以此类推来完成此次培训任务。某高校学生李红已受训合格，成为一名志愿者，并由她负责培训本校志愿者。若每轮培训中每个志愿者平均培训x人。

　　（1）已知经过第一轮培训后该校共有11人合格，请列出满足条件的方程：

　　（2）若两轮培训后该校共有121人合格，你能列出满足条件的方程吗？

　　问题2：

　　有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的'四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

　　问题3：

　　我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度？

　　教学活动2

　　二、探究新知，尝试练习

　　由以上问题得到2个方程，学生观察归纳这2个方程的特征，给出名称并类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义。

　　归纳：

　　1、一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

　　强调定义中体现的3个特征：

　　①整式；②一元；③2次

　　练习1：判断下列各式是否为一元二次方程：

　　（1）4x2=81（2）2（x2_1）=3y（3）5x2_1=4x（4）x2+3x_c=0（5）3x（x+1）=5（x+2）

　　引导学生类比一元一次方程的一般形式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念

　　2、一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。

　　提问：说出下列方程的一次项系数、二次项系数和常数项

　　x2+2x—1=0x2—36x+35=0

　　练习2：说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（由学生以抢答的形式来完成此题，并让学生找出错误理由。）

　　（1）x2十3x十2＝O（2）x2_3x十4＝0；

　　（3）3x2—5＝0（4）4x2十3x_2＝0；

　　（5）3x2_5=0；（6）6x2_x=0。

　　整理一般形式后，教师应强调整理过程中应用到的等式变形方法，如去括号，移项，合并同类项，去分母。

　　教学活动3

　　三、合作学习，巩固提高

　　1、把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项

　　（1）2（x2－1）= 3 x

　　（2）3（x－3）2=（x＋2）2＋7

　　（3）3x（x—1）＝2（x十2）

　　2、我校为树立学生的团结、拼搏精神，组织了一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？（列方程并整理成一般形式）

　　教学活动4

　　四、归纳小结，布置作业

　　本节课你学会哪些新知识？

　　学生交流、讨论，谈谈自己的收获或感悟。

一元二次方程教学设计7

　　学情分析

　　学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基础上本节课将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。

　　教学目标：

　　知识技能

　　1、理解一元二次方程的概念.

　　2、掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项.

　　过程与方法

　　1、通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题及解决问题的能力.

　　2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.

　　情感态度

　　1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.

　　2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.

　　教学重难点

　　重点：一元二次方程的概念及一般形式.

　　难点：探求问题中的等量关系，建立方程模型

　　教学突破：

　　1、方程是否为一元二次方程，主要看是否满足三个条件：（1）是整式方程;（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为2次

　　2、一元二次方程的各项系数均是相对于一般形式而言的，因此在教学中应强调：若要确定各项的系数，应先将方程化为一般形式。另外，一定要注意符号，尤其符号不能漏掉。

　　教学过程设计

　　一、创设情境引入新课

　　问题1:

　　在长30米，宽20米的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为500平方米，求道路的宽度？.

　　通过多媒体演示,把文字转化为图形,帮助学生理解题意,从而由学生独立思考,列出满足条件的方程.

　　问题2：

　　参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有公司共签订了45份合同，求有多少家参加商品交易会？

　　二、启发探究获得新知

　　1、一元二次方程的概念：经整理后，，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

　　说明：(1)由一问题得到2个方程,由学生观察归纳这2个方程的特征,给出名称并类比一元一次方程的定义,得出一元二次方程的定义.

　　(2)一元二次方程必须同时具备三个特征：a)整式方程; b)只含有一个未知数; c)未知数的最高次数为2.

　　眼疾口快:

　　请抢答下列各式是否为一元二次方程：

　　（4）5x+3=10

　　说明：此环节采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.

　　2、一元二次方程的一般式：

　　试一试:

　　例1、下面给出了某个方程的几个特点：

　　它的一般形式为

　　（2）它的二次项系数为5；

　　（3）常数项是一次项系数的倒数的相反数。

　　请你写出一个符合条件的的一元二次方程

　　说明：此题设置的目的在于加深学生对一般形式的理解

　　三、运用新知体验成功

　　小试牛刀:

　　1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并

　　写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．

　　（1）5x 2 -1= 4x；

　　（2）4x 2 = 81；

　　（3）4x（x+2）=25；

　　（4）(3x – 2)( x + 1 ) = 8x - 3

　　说明：巩固练习学生整理一般形式的`方法,并准确找出各项系数.此环节可找学生口答结果.另让学生落实将刚才教师板书的整理一般形式的过程,再次突出本节课的重点内容

　　2.

　　(1)小区20xx年底拥有家庭轿车64辆，20xx年底家庭轿车的拥有辆达到100辆，若该小区这两年的年平均增长率相同，求年平均增长率x；

　　（2）一个矩形的长比宽多2厘米，面积是100平方厘米，求矩形的长x；

　　（3）要组织一次篮球联赛，每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛，有多少队参加？

　　说明：这几题有在实际生活中应用的意义,以此题为例,教师板书整理一元二次方程的过程,让学生学会如何整理任意一元二次方程的一般形式,并能准确找到各项系数.

　　教师在此活动中应重点关注:

　　(1)由一个学生列出方程,并解释解题方法,教师进行引导,点评,引起其他学生的关注,认同.

　　(2)教师在归纳点评过程中,应注意把两队只打一场比赛解释清楚,以便学生理解题意.

　　(3)整理一般形式后,教师应强调整理过程中应用到的等式变形方法,如去括号,移项,合并同类项,去分母等.

　　(4)让学生指出各项系数时,教师强调系数须带符合.

　　例2、当m取何值时，方程(m-2)xm2-2+3mx=5

　　是关于x的一元二次方程？

　　此题由学生思考,讨论,并由学生给出结果并进行解释.

　　说明：此活动过程中,教师应重点关注:

　　(1)此题目在上一题的基础上继续加大难度,第(1)题须强调先进行整理,再考虑二次项系数是否为零;第(2)题须先求出m值,再代入二次项系数中,验证是否为0,得到结果.

　　(2)学生解答过程中,教师把整理的一般形式书写在黑板上,以便全体学生理解.

　　(2)学生解答过程中,教师把整理的一般形式书写在黑板上,以便全体学生理解.

　　四、归纳小结拓展提高

　　1．问题：

　　本节课你又学会了哪些新知识？

　　说明：小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，.为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。

　　2．还有什么疑惑？

　　五、布置作业：

　　教科书第21.1第1、2、3题.

　　板书设计

　　21.1一元二次方程

　　一元二次方程的概念：方程两边都是整式，并且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。

　　一元二次方程的一般形式

　　a表示二次项系数，b表示一次项系数，c表示常数项。

　　例1.例1、下面给出了某个方程的几个特点：

　　它的一般形式为

　　（2）它的二次项系数为5；

　　（3）常数项是一次项系数的倒数的相反数。

　　请你写出一个符合条件的的一元二次方程

　　例2、当m取何值时，方程(m-2)xm2-2+3mx=5

　　是关于x的一元二次方程？

　　学生学习活动评价设计：

　　关注学生在学习活动中的表现，如能否积极的参加活动，能否从不同的角度去思考问题，等等，而不是仅局限于学生列方程，判断学生各项系数的正确与否。

　　重视学生应用新知解决问题的能力的评价，鼓励学生使用数学语言，有条理地表达自己的思考过程，鼓励大胆质疑和创新。

一元二次方程教学设计8

　　教材分析

　　一元二次方程是中学数学的一个重要内容之一，在初中数学中占有重要地位。从知识的发展来看，一元二次方程的学习，是一元一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。从知识的横向来看，一元二次方程的学习对其它学科也有重要的意义，比如物理中的变速运动等问题就要通过解一元二次方程来解决。这节课是一元二次方程的概念课，通过丰富的实例，抽象出一元二次方程的概念。本节课的教学不仅使学生进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，而且提高了学生分析、比较、抽象和概括的能力。为接下来的学习起到很好的铺垫作用

　　学情分析

　　九年级的学生，在讲本节课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，学习了整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探究一元二次方程的基础。这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有很大提高。由于他们有强烈的求知欲，当遇到新的问题时，会自然的产生进一步探究的欲望。而我所教（11）班是年级中一个普通班，学生数学底子薄，基础差，学生由于学习困难，基础差，没有自信，也就对数学的学习兴趣越来越弱，有人甚至要放弃对数学的学习，作为他们的老师，首先培养他们自信心，启发他们对数学的喜爱，慢慢培养他们的自信心，使数学基本概念、基本运算方法悄然走进学生的'生活、走进他们对知识的运用中去。

　　教学目标

　　一、知识与技能：

　　1.理解并掌握一元二次方程的概念，知道一元二次方程的一般形式;

　　2.会把一个一元二次方程化为一般形式，会正确地判断一元二次方程的项与系数；

　　3.通过本节课的学习，培养学生观察、比较、分析、探究和归纳的能力。

　　二、过程与方法

　　1. 在回顾一元一次方程的概念的基础上，让学生通过分析实际问题中的数量关系列出方程，从而引导他们发现问题，然后通过自主探究和合作交流，抽象出一元二次方程的概念；

　　2. 借助于多媒体从实际问题抽象出概念，在通过巩固训练、回顾梳理、拓展提高到作业布置，完成本节课的教学

　　三、情感态度与价值观

　　1. 通过本节课的学习使学生认识到数学来源于生活实践，又反过来作用于生活的辩证唯物主义观点，激发学生学数学、用数学的意识；

　　2. 通过本节知识的学习，使学生认识到知识的产生、变化和发展的过程。

　　教学重点和难点

　　重点：一元二次方程的概念及一般形式。

　　难点：1.由实际问题向数学问题的转化过程。2.正确识别一般式中的“项”及“系数”。

一元二次方程教学设计9

　　教学目标：

　　（一）知识与技能：

　　1、理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程。

　　2、能利用配方法解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。

　　（二）过程与方法目标：

　　1、经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，使学生体会到转化的数学思想。

　　2、在理解配方法的基础上，熟练应用配方法解一元二次方程的过程，培养学生用转化的数学思想解决实际问题的能力。

　　（三）情感,态度与价值观

　　启发学生学会观察,分析,寻找解题的途径，提高学生分析问题,解决问题的能力。

　　教学重点、难点：

　　重点：理解并掌握配方法，能够灵活运用用配方法解一元二次方程。

　　难点：通过配方把一元二次方程转化为（x+m）2=n(n≥0)的形式。

　　教学方法：根据教学内容的特点及学生的年龄、心理特征及已有的知识水平，本节课采用问题教学和对比教学法，用“创设情境——建立数学模型——巩固与运用——反思、拓展”来展示教学活动。

　　教学过程

　　教学过程

　　教学内容

　　学生活动

　　设计意图

　　一 复习旧知

　　用直接开平方法解下列方程：

　　（1）9x2=4 (2)( x+3)2=0

　　总结：上节课我们学习了用直接开平方法解形如（x+m）2=n(n≥0)的方程。

　　二 创设情境，设疑引新

　　在实际生活中，我们常常会遇到一些问题，需要用一元二次方程来解决。

　　例：小明用一段长为 20米的竹篱笆围成一个矩形，怎样设计才可以使得矩形的面积为9米？

　　三 新知探究

　　1 提问：这样的方程你能解吗？

　　x2＋6x＋9＝0 ①

　　2、提问：这样的方程你能解吗？

　　x2＋6x＋4＝0 ②

　　思考：方程②与方程①有什么不同？能否把它化成方程①的形式呢？

　　归纳总结配方法：

　　通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的解，这样的解法叫做配方法。

　　配方法的依据：完全平方公式

　　配方法的关键：给方程的两边同时加上一次项系数一半的平方

　　点拨：先通过移项将方程左边化为x2＋ax形式，然后两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后直接开平方求解。

　　四 合作讨论，自主探究

　　1、 配方训练

　　(1) x2+12x+( )=(x+6)2

　　(2) x2-12x＋( )＝(x- )2

　　(3) x2+8x+( )=(x+ )2

　　(4) x2+mx+( )=(x+ )2

　　强调：当一次项系数为负数或分数时，要注意运算的准确性。

　　2、将下列方程化为（x+m）2=n

　　(n≥0)的形式并计算出X值。

　　（1）x2－4x＋3＝0

　　（2）x2＋3x－1＝0

　　解：X2-4X+3=0

　　移向：得X2-4X=-3

　　配方:得X2-4X+2^2=-3+2^2(两边同时加上一次项系数一半的平方)

　　即：（X-2)2=1

　　开平方,得：X-2=1或X-2=-1

　　所以：X=3或X=1

　　方程（2）有学生完成。

　　3、巩固训练：课本55页随堂练习第一题。

　　五 小结

　　1、用配方法解二次项系数为一的一元二次方程的基本思路：先将方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式，然后两边开平方就可以得到方程的解。

　　2、用配方法解二次项系数为一的一元二次方程的一般步骤：

　　（1） 移项（常数项移到方程右边）

　　（2） 配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）

　　（3） 开平方

　　（4） 解出方程的根

　　六 布置作业

　　习题2.3第1,2题

　　两个学生黑板上那解题，剩余学生练习本上计算。

　　学生观看课件，思考老师提出的'问题，得到：设该矩形的长为x米，依题意得

　　x(10－x)=9

　　但是发现所列方程无法用直接开平方法解。于是引入新课。

　　学生通过观察发现，方程的左边是一个完全平方式，可以化为( x+3)2=0，然后就可以运用上节课学过的直接开平方法解了。

　　方程②的左边不是一个完全平方式，于是不能直接开平方。学生陷入思考，给学生充分思考、交流的时间和空间。

　　在学生思考的时候，老师引导学生将方程②与方程①进行对比分析，然后得到：

　　x2＋6x＝－4

　　x2＋6x＋9＝－4＋9

　　（x+3）2=5

　　从而可以用直接开平方法解，给出完整的解题过程。

　　在学生充分思考、讨论的基础上总结：配方时，常数项为一次项系数的一半的平方。

　　检查学生的练习情况。小组合作交流。

　　学生归纳后教师再做相应的补充和强调。

　　学生分组完成方程（2）和课后随堂练习第一题

　　学生分组总结本节课知识内容。

一元二次方程教学设计10

　　一、复习引入

　　1、已知方程 x2—ax—3a=0的一个根是6，则求a及另一个根的值。

　　2、有上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有根简洁的关系？

　　3、有求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1= ，x2= 、观察两式左边，分母相同，分子是—b+√b 2—4ac与—b—√b 2—4ac。两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？

　　二、探索新知

　　解下列方程，并填写表格：

　　方 程x1x2x1+x2x1、 x2

　　x2—2x=0

　　x2+3x—4=0

　　x2—5x+6=0

　　观察上面的表格，你能得到什么结论？

　　（1）关于x的方程 x2+px+q=0（p，q为常数，p2—4q≥0）的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？

　　（2）关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的.两根x1， x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

　　解下列方程，并填写表格：

　　方 程x1x2x1+x2x1、 x2

　　2x2—7x—4=0

　　3x2+2x—5=0

　　5x2—17x+6=0

　　小结：1、根与系数关系：

　　（1）关于x的方程x2+px+q=0（p，q为常数，p2—4q≥0）的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=—p， x1、 x2=q（注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。）

　　（2）形如的方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。

　　即： 对于方程 ax2+bx+c=0（a≠0）

　　∵ ∴

　　∴ ，

　　（可以利用求根公式给出证明）

　　例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：

　　例2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？

　　例3：已知一元二次方程的两个根是—1和2，请你写出一个符合条件的方程、（你有几种方法？）

　　例4：已知方程 的一个根是 ，求另一根及k的值、

　　变式一：已知方程 的两根互为相反数，求k；

　　变式二：已知方程 的两根互为倒数，求k；

　　三、巩固练习

　　1、已知方程 的一个根是1，求另一根及m的值、

　　2、已知方程 的一个根为 ，求另一根及c的值、

　　四、应用拓展

　　1、已知关于x的方程 的一个根是另一个根的2倍，求m的值、

　　2、已知两数和为8，积为9，求这两个数、

　　3、 x2—2x+6=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，x1x2=6、是否正确？

　　五、归纳小结

　　1、根与系数的关系：

　　2、根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程；（2）判别式大于等于零、

　　六、布置作业

　　1、不解方程，写出下列方程的两根和与两根积。

　　（1）x2—5x—3=0 （2）9x+2= x2 （3） 6 x2—3x+2=0 （4）3x2+x+1=0

　　2、 已知方程x2—3x+m=0的一个根为1，求另一根及m的值、

　　3、 已知方程x2+bx+6=0的一个根为—2求另一根及b的值、

一元二次方程教学设计11

　　教学目标

　　(一)教学知识点

　　1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.

　　2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.

　　3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.

　　(二)能力训练要求

　　1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.

　　2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.

　　3.通过学生共同观察和讨论,培养大家的合作交流意识.

　　(三)情感与价值观要求

　　1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

　　2.具有初步的创新精神和实践能力.

　　教学重点

　　1.体会方程与函数之间的联系.

　　2.理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.

　　3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.

　　教学难点

　　1.探索方程与函数之间的联系的过程.

　　2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

　　教学方法

　　讨论探索法.

　　教具准备

　　投影片二张

　　第一张:(记作§2.8.1A)

　　第二张:(记作§2.8.1B)

　　教学过程

　　Ⅰ.创设问题情境,引入新课

　　[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.

　　现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.

　　Ⅱ.讲授新课

　　一、例题讲解

　　投影片:(§2.8.1A)

　　我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的.高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示,那么

　　(1)h与t的关系式是什么?

　　(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.

　　[师]请大家先发表自己的看法,然后再解答.

　　[生](1)h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0,h0代入上式即可求出h与t的关系式.

　　(2)小球落地时h为0,所以只要令h=-5t2+v0t+h.中的h为0,求出t即可.

　　还可以观察图象得到.

　　[师]很好.能写出步骤吗?

　　[生]解:(1)∵h=-5t2+v0t+h0,

　　当v0=40,h0=0时,

　　h=-5t2+40t.

　　(2)从图象上看可知t=8时,小球落地或者令h=0,得:

　　-5t2+40t=0,

　　即t2-8t=0.

　　∴t(t-8)=0.

　　∴t=0或t=8.

　　t=0时是小球没抛时的时间,t=8是小球落地时的时间.

　　二、议一议

　　投影片:(§2.8.1B)

　　二次函数①y=x2+2x,

　　②y=x2-2x+1,

　　③y=x2-2x+2的图象如下图所示.

　　(1)每个图象与x轴有几个交点?

　　(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?

　　(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

　　[师]还请大家先讨论后解答.

　　[生](1)二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.

　　(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.

　　(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;

　　二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.

　　由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

　　[师]大家总结得非常棒.

　　二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

　　三、想一想

　　在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的?

　　[师]请大家讨论解决.

　　[生]在式子h=-5t2+v0t+h0中,当h0=0,v0=40m/s,h=60m时,有

　　-5t2+40t=60,

　　t2-8t+12=0,

　　∴t=2或t=6.

　　因此当小球离开地面2秒和6秒时,高度都是60m.

　　Ⅲ.课堂练习

　　随堂练习(P67)

　　Ⅳ.课时小结

　　本节课学了如下内容:

　　1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系.

　　2.理解了二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解了何时方程有两个不等的实根.两个相等的实根和没有实根.

　　Ⅴ.课后作业

　　习题2.9

　　板书设计

　　§2.8.1 二次函数与一元二次方程(一)

　　一、1.例题讲解(投影片§2.8.1A)

　　2.议一议(投影片§2.8.1B)

　　3.想一想

　　二、课堂练习

　　随堂练习

　　三、课时小结

　　四、课后作业

　　备课资料

　　思考、探索、交流

　　把4根长度均为100m的铁丝分别围成正方形、长方形、正三角形和圆,哪个的面积最大?为什么?

　　解:(1)设长方形的一边长为x m,另一边长为(50-x)m,则

　　S长方形=x(50-x)=-x2+50x=-(x2-50x+625)+625=-(x-25)2+625.

　　即当x=25时,S最大=625.

　　(2)S正方形=252=625.

　　(3)∵正三角形的边长为 m,高为 m,

　　∴S三角形= =≈481(m2).

　　(4)∵2πr=100,∴r= .

　　∴S圆=πr2=π·( )2=π· = ≈796(m2).

　　所以圆的面积最大.

一元二次方程教学设计12

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。

　　（二）能力训练点：通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力。

　　二、教学重点、难点

　　1、教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。

　　2、教学难点：根据数与数字关系找等量关系。

　　三、教学步骤

　　（一）明确目标

　　（二）整体感知：

　　（三）重点、难点的学习和目标完成过程

　　1、复习提问

　　（1）列方程解应用问题的步骤？

　　①审题，

　　②设未知数，

　　③列方程，

　　④解方程，

　　⑤答。

　　（2）两个连续奇数的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整数）。

　　2、例1两个连续奇数的积是323，求这两个数。

　　分析：

　　（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，

　　（2）设元（几种设法）。设较小的奇数为x，则另一奇数为x+2，设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1；设较小的'奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1。

　　以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。

　　解法（一）

　　设较小奇数为x，另一个为x+2，据题意，得x（x+2）=323。

　　整理后，得x2+2x-323=0。

　　解这个方程，得x1=17，x2=-19。

　　由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，答：这两个奇数是17，19或者-19，-17。

　　解法（二）

　　设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1。

　　据题意，得（x-1）（x+1）=323。

　　整理后，得x2=324。

　　解这个方程，得x1=18，x2=-18。

　　当x=18时，18-1=17，18+1=19。

　　当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17。

　　答：两个奇数分别为17，19；或者-19，-17。

　　解法（三）

　　设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数为2x+1。

　　据题意，得（2x-1）（2x+1）=323。

　　整理后，得4x2=324。

　　解得，2x=18，或2x=-18。

　　当2x=18时，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19。

　　当2x=-18时，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17

　　答：两个奇数分别为17，19；-19，-17。

　　引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：

　　1、三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？

　　2、解题中的x出现了负值，为什么不舍去？

　　答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。

　　3、选出三种方法中最简单的一种。

　　练习

　　1、两个连续整数的积是210，求这两个数。

　　2、三个连续奇数的和是321，求这三个数。

　　3、已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。

　　学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法。例2有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。

　　分析：数与数字的关系是：

　　两位数=十位数字×10+个位数字。

　　三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字。

　　解：设个位数字为x，则十位数字为x-2，这个两位数是10（x-2）+x。

　　据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），整理，得3x2-17x+20=0，

　　当x=4时，x-2=2，10（x-2）+x=24。

　　答：这个两位数是24。

　　练习1有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。（35，53）

　　2、一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。

　　教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。

　　（四）总结，扩展

　　1、奇数的表示方法为2n+1，2n-1，……（n为整数）偶数的表示方法是2n（n是整数），连续奇数（偶数）中，较大的与较小的差为2，偶数、奇数可以是正数，也可以是负数。

　　数与数字的关系

　　两位数=（十位数字×10）+个位数字。

　　三位数=（百位数字×100）+（十位数字×10）+个位数字。

　　……

　　2、通过本节课内容的比较、鉴别、分析、综合，进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途。

　　四、布置作业

　　教材P.42中A1、2、

一元二次方程教学设计13

　　教学目标

　　知识技能：掌握应用方程解决实际问题的方法步骤，提高分析问题、解决问题的能力。

　　过程与方法：通过探索球积分表中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型，并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。

　　情感态度：鼓励学生自主探究，合作交流，养成自觉反思的良好习惯。

　　重点：把实际问题转化为数学问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断。

　　难点：把数学问题转化为数学问题。

　　关键：从积分表中找出等量关系。

　　教具：投影仪。

　　教法：探究、讨论、启发式教学。

　　教学过程

　　一、创设问题情境

　　用投影仪展示几张比赛场面及比分(学习是生活需要，引起学生兴趣)

　　二、引入课题

　　教师用投影仪展示课本106页中篮球联赛积分榜引导学生观察，思考：① 用式子表示总积分能与胜、负场数之间的数量关系;

　　②某队的胜场总分能等于它的`负场总积分么?

　　学生充分思考、合作交流，然后教师引导学生分析。

　　师：要解决问题①必须求出胜一场积几分，负一场积几分，你能从积分榜中得到负一场积几分么?你选择哪一行最能说明负一场积几分?

　　生：从最下面一行可以发现，负一场积1分。

　　师：胜一场呢?

　　生：2分(有的用算术法、有的用方程各抒己见)

　　师：若一个队胜a场，负多少场，又怎样积分?

　　生：负(14-a)场，胜场积分2a，负场积分14-a，总积分a+14.

　　师：问题②如何解决?

　　学生通过计算各队胜、负总分得出结论：不等。

　　师：你能用方程说明上述结论么?

　　生：老师，没有等量关系。

　　师：欸，就是，已知里没说，是不是不能用方程解决了?谁又没有大胆设想?

　　生：老师，能不能试着让它们相等?

　　师：伟大的发明都是在尝试中进行的，试试?

　　生：如果设一个队胜了x场，则负(14-x)场，让胜场总积分等负场总积分，方程为：2x=14-x解得x=4/3(学生掌声鼓励)

　　师：x表示什么?可以是分数么?由此你的出什么结论?

　　生：x表示胜得场数，应该是一个整数，所以，x=4/3不符合实际意义，因此没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。

　　师：此问题说明，利用方程不仅求出具体数值，而且还可以推理判断，是否存在某种数量关系;还说明用方程解决实际问题时，不仅要注意方程解得是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。

　　拓展

　　如果删去积分榜的最后一行，你还能用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系吗?

　　师：我们可以从积分榜中积分不相同的两行数据求的胜负一场各得几分，如：一、三行。

　　教师引导学生设未知数，列方程。学生试说。

　　生：设胜一场积x分，则前进队胜场积分10x，负场积分(24-10x)分，它负了4场，所以负一场积分为(24-10x)/4,同理从第三行得到负一场积分为(23-9x)/5，从而列方程为(24-10x)/4=(23-9x)/5。解得x=2，当x=2时，(24-10x)/4=1。仍然可得负一场积1分，胜一场积2分。

　　三、巩固练习

　　已知某山区的平均气温与该山的海拔高度的关系见表：

　　海拔高度(单位：m)

　　100

　　200

　　300

　　400

　　平均气温(单位：℃)

　　22

　　21.5

　　21

　　20.5

　　20

　　若某种植物适宜生长在18℃20℃(包括18℃20℃)的山区，请问该植物适宜种在海拔为多少米的山区?

　　学生分析题意，思考，在练习本上完成，然后同桌小议，代表发言，教师点拨。

　　四、课堂小结：

　　让几个学生谈自己的收获，再让一个学生全面总结。

　　五、布置作业：

　　课本108页8、9题。

　　六、教学反思

　　本节课主要是借球赛积分表问题传授数学知识的应用。在前面已经讨论过由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的基础上，本节进一步以探究的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题。要探究的问题比前几节的问题复杂些，问题情境与实际情况更接近。本节的重点是建立实际问题的方程模型。通过探究活动，进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决问题的能力。

　　由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确建立方程是难点，教师要恰当的引导，让学生弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，找出可作为方程依据的主要相等关系，但教师不要代替学生的思考。

一元二次方程教学设计14

　　教材分析

　　一元二次方程是九年级数学一个非常重要的内容，是首次出现的高于一次的方程。其解法的策略就是将其“降次”转化为一次方程。通过解比较简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程，再通过对比一边为完全平方形式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法，为后面的求根公式做准备。

　　学情分析

　　1. 教学对象：本班学生58人，这个班的特点是两头力量少，中间力量多，基础知识薄弱。但学习气氛较浓，能调动学生学习数学的'积极性和挑战性

　　2. 学生的认知分析：学生虽然具备初步的解题思路，但缺乏融会贯通和应用的能力。应适当地创设一些难易、新旧相结合的问题，加强学生对知识的应用。在学习过程中培养学生自主探索与合作交流的紧密结合，促使学生在探究的过程中，更多地获得成功的体验。

　　教学目标

　　1、知识与技能：学生会用直接开平方法解方程，x2=p,x2+2mx+m2=p(p≥0)建立一元二次方程模型解决简单的实际问题，循序渐进的让学生掌握直接开平方法的做法，通过对比学会配方法解数字系数的一元二次方程

　　2情感目标：渗透转化思想，掌握一些转化技能

　　教学重点和难点

　　重点：直接开平方法，简单的配方法

　　难点：配方，把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程

一元二次方程教学设计15

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．

　　（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识．

　　二、教学重点、难点

　　1．教学重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题．

　　2．教学难点：有关增长率之间的数量关系．下列词语的异同；增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了．

　　三、教学步骤

　　（一）明确目标．

　　（二）整体感知

　　（三）重点、难点的学习和目标完成过程

　　1．复习提问

　　（1）原产量+增产量=实际产量．

　　（2）单位时间增产量=原产量×增长率．

　　（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．

　　2．例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？

　　分析：设平均每月的增长率为x．

　　则2月份的产量是5000+5000x=5000（1+x）（吨）．

　　3月份的产量是

　　=5000（1+x）2（吨）．

　　解：设平均每月的增长率为x，据题意得：

　　5000（1+x）2=7200

　　（1+x）2=1.44

　　1+x=±1.2．

　　x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）．

　　取x=0.2=20％．

　　教师引导，点拨、板书，学生回答．

　　注意以下几个问题：

　　（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x．

　　（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系．

　　（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开．

　　练习1．教材P.42中5．

　　学生分析题意，板书，笔答，评价．

　　练习2．若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程．

　　（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率．

　　（1+x）2=b（把原来的总产值看作是1．）

　　（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的.百分数．

　　（a（1+x）2=b）

　　（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数．

　　（（1+x）2=b+1把原来的总产值看作是1．）

　　以上学生回答，教师点拨．引导学生总结下面的规律：

　　设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为a（1+x），增长两次后的产值为a（1+x）2 ，…………增长n次后的产值为S=a（1+x）n．

　　规律的得出，使学生对此类问题能居高临下，同时培养学生的探索精神和创造能力．

　　例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？

　　分析：设每次降价为x．

　　第一次降价后，每件为600-600x=600（1-x）（元）．

　　第二次降价后，每件为600（1-x）-600（1-x）x

　　=600（1-x）2（元）．

　　解：设每次降价为x，据题意得

　　600（1-x）2=384．

　　答：平均每次降价为20％．

　　教师引导学生分析完毕，学生板书，笔答，评价，对比，总结．

　　引导学生对比“增长”、“下降”的区别．如果设平均每次增长或下降为x，则产值a经过两次增长或下降到b，可列式为a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）．

　　（四）总结、扩展

　　1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．

　　2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．

　　3．我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率．3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程．

　　四、布置作业

　　教材P.42中A8

　　五、板书设计

　　12.6 一元二次方程应用（三）

　　1．数量关系：例1……例2……

　　（1）原产量+增产量=实际产量分析：……分析……

　　（2）单位时间增产量=原产量×增长率解……解……

　　（3）实际产量=原产量（1+增长率）

　　2．最后产值、基数、平均增长率、时间

　　的基本关系：

　　M=m（1+x）n n为时间

　　M为最后产量，m为基数，x为平均增长率

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